闭集（closed set）是一种特殊的集合，它是指 补集 为开集的集合。 在度量空间以及拓扑空间均有相应的定义。
在19世纪70年代， 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 （Cantor）对任意元素的集合进行了研究，提出了无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础。他在1874年引入基数概念，证明了 超越数 大大多于 代数数 ，随后，他提出了“ 连续统假设 ”，定义了序型、超限 序数 概念，以及聚点、开集、闭集等概念，为一般拓扑学的发展开辟了道路。
闭集还可以通过聚点与附贴点来描述，同时，它与导集、闭包的概念相关。 度量空间以及拓扑空间中的闭集具有一些基本性质。 在拓扑空间中，开集与闭集的差集是开集，闭集与开集的差集是闭集； 在度量空间中，任意多个闭集的交仍为闭集，有限多个闭集的并仍为闭集。由这些性质可以引出一些具体的实例。
闭集可以从一般拓扑学推广至模糊拓扑学，其中 闭集可以用来刻画 分离性和模糊仿紧性。 此外，在工程学中，闭集的稳定性与脉冲轨的拟稳定性、回复性、 吸引子 等有关，对系统的稳定性和极限集映射的连续性有着重要影响。
定义
闭集是指 补集 为开集的集合 ，在度量空间以及拓扑空间中都有定义。
度量空间中
设 为度量空间，对任意的 ， ， 称为开球（open sphere），其中， 称为球心（center of a sphere）， 称为半径（radius）。
（1）开球 通常称为 的 邻域（ Neighborhood ）。
（2）设 ，若存在 >0，使得 则称 为集合 的内点（interior point）。
（3）若集合 的所有点都是内点，则称其为开集（open set）。
闭集：如果集合 的补集 是开集，则称集合 为闭集。
拓扑空间中
度量空间 作为拓扑空间时，球形邻域族 是该拓扑空间的一个拓扑基。
在拓扑空间中， 子集 的内点与内部，闭集、子集的聚点与闭包，收敛点列的极限，稠密集。疏朗集、纲等概念的定义均可仿照度量空间的同名概念的定义得到，为此，只须在相应的同名概念的定义中把“度量空间”改为“拓扑空间”，同时把“球形邻域”改为“邻域”即可。
设 是非空集， 是 某些子集所成的集族。如果 满足条件：
（1） 和 在 中；
（2） 的任意个成员的 交集 在 中；
（3） 的有穷个成员的 并集 在 中。
则称 为集合 的一个拓扑， 称为一个拓扑空间， 的成员称为 的闭集。
历史
集合论于16世纪末产生，但在当时，人们为了建立 微积分学 的理论基础，只对其中的数集进行研究。在19世纪70年代， 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 （Cantor）对任意元素的集合进行了研究，提出了无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础。他在1874年引入基数概念，证明了 超越数 大大多于 代数数 ，但也遭到某些数学家的反对。随后，他提出了“ 连续统假设 ”，定义了序型、超限 序数 概念，以及聚点、开集、闭集等概念，为一般拓扑学的发展开辟了道路。 他在1895年首先给出集合的描述：一组确定的彼此不同的具有相似性质的对象组成的整体称为集合，而组成集合的每一个对象就叫做集合的元素。
相关概念
附贴点
定义： 设 是 的一个 子集 ， 是 内的一个点， 未必在 内。如果每个 球 都至少包含 的一个点，那么称 为 的一个附贴点。
例：
（1）如果 ，则 附贴于 ，因为每个 球 都包含 。
（2）如果 是 的一个有上界的子集，则 附贴于 。
有些点附贴于 是由于每个球 都含有 的异于 的点，这些点称为聚点。
闭集与附贴点具备这样的联系： 中的集合 是闭集， 当且仅当它包含它的全部附贴点。
证明 ：假定 是闭集，令 是 的附贴点，要证明 。假定 ，将会推出矛盾。如果 ，则 。因为 是开集，所以有某个 球 位于 内。于是 不包含 的任何点，这同 附贴于 的事实矛盾。
为了证明逆命题，假定 包含它所有的附贴点，要证明 是闭集。假定 ，则 ，所以 不附贴于 。 于是有某个球 不与 相交，从而 ，所以 是开集，由此知 是闭集。
聚点
定义： 设 ， 如果每个 球 至少包含 的一个与 不同的点，则 称为 的聚点。
换句话说， 是 的一个聚点，当且仅当 附贴于 。如果 但 不是 的聚点，则称 为 的孤立点。
例：
（1）由形如 的数组成的集合以 为聚点。
（3）闭区间 的每一个点都是由开区间 内的数组成的集合的聚点。
定理 ： 如果 是 的聚点，则每一个 球 都包含 的无穷多个点。
证明 ：假定情况是相反的，也就是说，假定存在一个 球 只包含 的有限个异于 的点，比如 如果 表示正数 中最小的一个，则 将是一个关于 的 球，它不包含 的异于 的点，这是一个矛盾。这个 定理 特别地隐含着这样的结论：一个集合除非它从一开始就含有无穷多个点，否则它就不可能有聚点。然而，它的逆命题一般来说是不对的。例如，整数集 就是一个没有聚点的无限集。
闭包
定义： 由集合 的全部附贴点组成的集合称为 的闭包，记为 。
对于任何集合都有 ，因为 的每个点都附贴于 。由闭集与附贴点的关系表明，相反的结论 当且仅当 是闭集时成立。因此闭集与闭包具备这样的联系：集合 是闭集，当且仅当 。
或用另一种证明方法：
先证充分性，设 为闭集，则 所以， 。
再证必要性，设 ，则 ，所以， 为闭集。
导集
定义： 由集合 的全部聚点组成的集合称为 的导集，记为 。
对任一集合 成立。由闭集与闭包的关系可知 是闭集当且仅当 换句话说，闭集与聚点的联系： 内的集合 是闭集， 当且仅当它包含它的全部聚点。
闭集与闭包、导集的关系：任意一个集合的导集和闭包都是闭集。
性质
度量空间中
性质1 ：闭球是闭集，空集 以及空间 本身也都是闭集， 中一条直线是闭集。
性质2 ：任意多个闭集的交仍为闭集，任意多个开集的并仍为开集。
证明 ：设集 ，其中 均为闭集。设 ，若x是F的极限点，则它的任意邻域 必包含集F的无限多个点，故必包含所有 中任一个集的无限多个点（因为 ），所以x为每一 的极限点，由于 为闭集，故 （对一切 成立），因而 。这就证明了任意多个（有限多个或无限多个）闭集的 交集 仍为闭集。
性质3 ：有限多个开集的交仍为开集，有限多个闭集的并仍为闭集。
证明 ：设有闭集 ，它们的 并集 。为了要证明 是闭集，必须证明任何极限点 ，即只要证 是某一个 的极限点就够了（因为 是闭集，极限点必属于它因而也属于 ），可以用反证法：若 不是所有 的极限点，则存在邻域 ，它不包含 中任何异于 的点（其中 ），取 中最小的一个（因它们的个数是有限的，所以必定存在）， 它不包含 中异于 的任何点，这与 是 的极限点相矛盾。这就证明了 是闭集。
值得注意的是 ，无限多个开集的交不一定是开集，无限多个闭集的并不一定是闭集。 例如 ， 。
性质4 ：在度量空间中，闭集可以描述为包含它的所有的极限点的集合，即，在度量空间 中，，集合 是闭的，当且仅当对于 的每一个收敛于点 的点列 ，都有 。
证明 ：首先设 是闭的。假定 ， ， 。需证明 就会导出矛盾， 是开的，因此， 和 一起就意味着有一个正整数 ，使得 时， 。这就与假定 ， ，相矛盾。
反之，假设 是这样的一个集合，对于其中有 ， ， 的每一个点列都有 。需证明是 闭的，或者等价地证明 是开的。如果 不是开的，那么一定有一点 ，使得对于 的每一个邻域 ， 。特别是， ， 。于是，有一个点列 使得 ， 且 ，那么由集合 的已经假定的性质导出 这个矛盾。因此 是开的， 是闭的。
拓扑空间中
性质5 ：开集与闭集的差集是开集，闭集与开集的差集是闭集。
证明 ：设 是开集， 是闭集。 。因为 是闭集，所以 是开集。从而， 是开集，同理， 是闭集。
性质6 ：设 是拓扑空间 的拓扑子空间，则有 为 中闭集 存在 的闭集 使 。
证明 ： 为 中闭集 为 中开集 存在 的开集 使 存在 的闭集 使 ，从而 。
性质7 ：若 是拓扑空间 中的闭集， 是一个连续映射，那么 是 中的闭集。
相关示例
例1： 取 则 或 都是 的内点。取 ，聚点为 ，但 。取 ，聚点为 ，而 。则 为开集， 为闭集，与 有相同的界点，均为 和 。
例2： 以 为中心， 为半径的闭球 是 中的闭集。
例3： 是闭集； 既不是开集也不是闭集。空集 和 既是开集也是闭集。对于两个闭集 、 ， 也是闭集，而它们的 交集 是空集。此外 和 也是闭集。
例4： 都是 中的闭集。
例5 ： 说明任意多个开集的交集可能是闭集， 说明任意多个闭集的 并集 可能是开集。
例6： 中的闭区间 是闭集。 个一维闭区间的笛卡儿积 是 中的闭集，称为 维闭区间 。
应用
工程学
类似于连续动力系统，在脉冲动力系统中，闭集的稳定性同样是一个极为重要的性质，它与脉冲轨的拟稳定性、回复性、 吸引子 等诸多概念和性质有着密切的联系。而作为脉冲动力系统中一类特殊闭集的极限集，其稳定性又与相应的极限集映射的连续性有着密切联系。关于脉冲动力系统稳定性的研究大多集中在轨道的稳定性上，而脉冲系统中有关极限集局部稳定性与相应集值映射连续性间关系的研究成果尚不多见。
推广
定义
算子 ： 设 是 ， 。算子 ： 定义为 ， 。
闭集： 设 是 ， 。称 为 中的 闭集，若 ， 中的全体 闭集记以 。
集： 设 是 ， ， ，称 为 集。
远域： 设 是 ， ， ， ，称 为 的 远域，若 ， 的全体 远域记作 。
闭集可以用来刻画 分离性和模糊仿紧性。
性质
设 是 ， 。算子 有如下性质： ，
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
设 是 ， ， 闭集具有如下性质：
（1）若 ，则 ， ，即 ；
（2） ， ；
（3） ， 。