半直积是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。
正文
在数学中，特别是叫做 群论 的 抽象代数 领域中， 半直积 (semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的 勒内·笛卡尔 积，但带有特定的乘法运算。
一些等价的定义
令 G 为群， N 为 G 的一个正规子群，并且 H 是 G 的一个子群。下列命题等价:
1） (其中 e 是 G 的幺元)
2） G 的每个元素可以写作唯一的 N 的一个元素和 H 的一个元素的积
3） G 的每个元素可以写作唯一的 H 的一个元素和 N 的一个元素的积
4）自然的嵌入 和自然的投影 的复合，给出一个在 H 和 G / N 之间的 同构 存在同态 ，它的像是 H 本身而其核是 N
如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称 G 是一个 N 和 H 的 半直积 ，或者说 G 在 N 上“分裂(splits)”，并写作 。
基本事实和提醒
若 G 是正规子群 N 和子群 H 的半直积，而且 N 和 H 都是有限的，则 G 的阶等于 N 和 H 的阶的积。
注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果 G 和 G' 是两个群，都包含 N 为正规子群，并且都包含 H 为子群，而且二者都是 N 和 H 的半直积，则 未必 G 和 G' 是 同构 的。
外半直积
若 G 是一个 N 和 H 的半直积，则映射 (其中 表示 N 的所有自同构组成的群)(定义为 对于所有 H 中的 h 和 N 中的 n )是一个群同态。实际上 N , H 和 φ 一起确定了 G 最多相差一个同构，如下面所证。
给定任意两个群 N 和 H （不必是某个群的子群）和一个群同态 ，我们定义一个新群 ， N 和 H 相对于φ的半直积 ，如下: 基础的集合是集合直积 ，而群运算*给定为
对于所有 中的 和 H 中的 。这确实定义了一个群；其幺元为 而元素 的逆为 是 同构 于 N 的正规子群, 是 同胚 于 H 的子群，而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。
现在反过来假设我们有上述定义的内半直积，也就是说，一个群 G 有一个正规子群 N ,一个子群 H ，并且使得 G 的每个元素 g 可以唯一的写成 的形式，其中 n 在 N 中而 h 在 H 中。令 为如下同态
. 则 G 同构于外半直积 ; 该同构把乘积 nh 映到2元组 。在 G 中，我们有如下规则
而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。
群的 分裂引理 （splitting lemma）的一个版本称群 G 同构 于两个群 N 和 H 的半直积当且仅当存在短 正合序列
和一个群同态 使得 , H 上的 恒等映射 。在这种情况, 给出如下
例子
有 2 n 个元素的 二面体群 Dn 同构于循环群 Cn 和 C 2的半直积。这里， C 2的非单位元作用于 Cn ，将元素变成其逆；这是一个自同构因为 Cn 是交换群。
平面的 刚体 运动 群(映射 使得 x 和 y 之间的 欧氏距离 等于 之间的距离对于所有在 R 中的 x 和 y 成立) 同构 于交换群 R (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个 正交矩阵 通过 矩阵乘法 作用在 R 上，并且是一个自同构。
所有正交 矩阵的群 (直观的讲，所有 n 维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO( n ) (所有 行列式 值为1的正交矩阵，直观的讲 n 维空间的转动的集合)和 C 2的准直积。如果我们将 C 2表示为矩阵{ I , R }的乘法群，其中 R 是 n 维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交 对角矩阵 ),则 由 对所有 在 C 2中的 H 和 中的 N 给出.
与直积的关系
假设 G 是一个正规子群 N 和子群 H 的半直积。若 H 也在 G 中正规，或者说，若存在一个同态 是 N 上的恒等映射，则 G 是 N 和 H 的直积。
两个群 N 和 H 的直积可以视为 N 和 H 相对于 (对于所有 H 中的 h )的外半直积。
注意在直积中，因子的次序不重要，因为 同构 于 。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。
推广
半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有 李代数 的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的 轨道空间 有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候 - 例如在阿兰·科纳的工作中（细节请参见非交换几何）。
在范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。
参看
圈积(Wreath product)