对偶空间（Dual Space），是指数域上某一线性空间上的全体线性函数按照加法及数乘运算构成的该数域上的另一个线性空间 。
对偶空间思想的萌芽可追溯至20世纪初。1904年，戴维·希尔伯特（David Hilbert） 的积分方程工作的第一篇文章“线性分方程的一般理论”中蕴含了有限维空间中的对偶思想，但无限维空间上对偶思想的萌芽和产生是在希尔伯特发表的积分方程工作的第五篇文章中的代数化方法才有所体现 。而后， 匈牙利 数学家 里斯 （Frigyes Frdric）将希尔伯特的对偶思想以及将积分方程理论深入推进产生了重要的具体的对偶空间，从而为抽象对偶空间理论的形成提供了具体范例。后来，奥地利数学家黑利、汉斯·哈恩（Hans Hahn）和波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）等人进一步完善了之前的结论 。1929年，巴拿赫发表了两篇题为《关于线性泛函》的文章，首先建立了对偶算子理论的基础，并给出了赋范线性空间上连续线性泛函的明确定义，标志着对偶空间理论正式诞生 。
对偶空间具有许多性质，如对偶空间与原空间维数相同 。与对偶空间类似的理论为共轭空间，它的元素是线性泛函 。对偶空间理论在实际研究中应用广泛，如在遥感影像领域，可以基于对偶空间进行高分辨率影像道路的提取 。
定义
设 是数域 上的线性空间， 和 是 的两个线性函数， ，定义线性函数的加法 和数乘 如下： ， 。其中 和 也是线性函数， 上全体线性函数按照如上式子的加法和数乘运算构成数域 上的线性空间称为 的对偶空间，记作 。
历史沿革
对偶空间思想的萌芽
19世纪，代数学蓬勃发展，为对偶空间思想的建立奠定了理论基础。1904年，希尔伯特在其积分方程工作的第一篇文章“线性分方程的一般理论”中求解有限 线性方程组 时引入内积，这一过程已经蕴含了有限维空间中的对偶思想，但在该文中，他并没有直接将这种对偶思想延伸到积分方程所隐含的无限维空间中，他对积分方程的处理依旧是“从有限极限过渡到无限”的方式，直到其第五篇有关积分方程工作文章的发表，才摆脱了极限的束缚 。
1906年， 希尔伯特 发表了积分方程工作的第五篇文章，该文章中探讨了 上第二型积分方程的求解理论，利用内积将其转化为 空间上的无穷 线性方程组 ，借用代数化方法求解分析中的问题。其中代数化方法是积分方程求解理论的一次突破，他的解决方法体现了无限维空间上对偶思想的萌芽和产生 。
具体对偶空间的产生
戴维·希尔伯特 在积分方程代数化的过程中蕴含了对偶的思想，而将希尔伯特的对偶思想以及将积分方程理论深入推进的是 匈牙利 数学家 里斯 （Frigyes Frdric）。在里斯的工作中，建立起积分方程（组）和线性方程组求解问题与相应空间上连续线性泛函表示问题之间的联系，产生了重要的具体的对偶空间，从而为抽象对偶空间理论的形成提供了具体范例 。里斯通过求解具体空间上的积分方程或 线性方程组 给出了 ， 等空间上连续线性泛函的表示形式，同时还认识到连续线性泛函的有界性本质，并由此给出了 上的泛函表示 。
里斯 在1918年建立了紧算子理论，但是 空间对偶空间的建立归功于 波兰 数学家斯坦豪斯（Steinhaus）。1919年，他发表了题为《可加连续的泛函演算》的论文，该文章从 级数 的角度给出了 空间上连续线性泛函的表示 。
理论的抽象化及建立
后来，奥地利数学家黑利、汉斯·哈恩（Hans Hahn）和波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）等人进一步完善了之前的结论。1921 年黑利发表了“关于无穷未知量的 线性方程组 ”一文，他从施密特和 里斯 关于无限未知量的无穷线性方程组解存在的问题中得到关于序列空间上连续线性泛函的抽象理论。1921年在 德国 耶拿举行的一次数学学会会议上， 汉恩 汇报了他关于任何函数表示为奇异积分极限的工作，德国数学家舒尔（Issai Schur）向他指出了奇异积分与无穷序列线性变换之间的关系。1922 年汉恩由此出发建立了抽象对偶空间的雏形。
最后 斯特凡·巴拿赫 在此方面工作的严格化和完善化促成了抽象对偶空间理论的形成 。1929年，巴拿赫发表了两篇题为“关于线性泛函”的文章，以建立对偶算子理论为主，由此首先建立了对偶算子理论的基础，即对偶空间理论 。此外， 斯特凡·巴拿赫 还首先给出了赋范线性空间上连续线性泛函的明确定义 。
相关概念
对偶基
设 是数域 上的线性空间， 是 的一个基，若 上的线性函数 满足 ，则 是 的基，称为 的对偶基 。
线性空间的同构
设 与 是数域 上的两个线性空间， 是 到 的一个 双射 ，若对于 中的任意两个 向量 与 中的任意数 ，则 称为 到 的 同构 映射， 与 称为在映射 下同构，记为 。线性空间的同构具有反身性、对称性和传递性 。
性质
设 是数域 上的 维线性空间 。
基本性质
性质1 ： 的对偶空间 也是 维的 。
性质2 ：设 是 的一组基， 是它的对偶基，则对任意 有 ，即 是 的第 个坐标的值，而对 上任意线性函数 ，有 。
性质3 ：设 及 是 的两个基，它们的对偶基分别是 及 。又设由基 到基 的过渡矩阵为 ，则由 到 的过渡矩阵为 。
运算性质
性质1 ：设 是数域 上的 维线性空间，若 ，则 。
性质2 ：若 ，则 。
性质3： 若 ， ，则 。
性质4： 若 ， ，则则 。
同构性
设 是数域 上的线性空间， 为 的对偶空间。取 ，对任意的 ，令 ，则：
（1） 是 上的线性函数；
（2） 是 的对偶空间 的元素；
（3） 是 到 的 同构 映射，即 与 同构 。
相关推广
对偶拓扑空间
若 是对偶空间，在 上引入使 中的每个元是连续的最弱拓扑叫 上的 拓扑，记作 。同样，在 上引入使 中的每个元是连续的最弱拓扑叫 上的 拓扑，记作 。称 , 为对偶拓扑空间 。
对偶不变性
设 是对偶空间， 是 上的某个命题。若 对 上某个相容拓扑 成立，那么 对 上一切相容拓扑均成立，则称 为关于 上相容拓扑对偶不变的性质，简称对偶不变的 。
相容拓扑
设 是对偶空间， 是 上的局部凸拓扑，若 ，则称 为 上关于 的相容拓扑 。
相关定理
定理 1 ：设 是对偶空间，则 。
定理 2 ：设 是对偶空间， 中集合的有界性是对偶不变的 。
定理3 ：设 是对偶空间，那么 的所有相容拓扑具有相同的闭 凸集 ，相同的闭线性子空间，相同的均衡凸吸收闭集 。
类似理论
共轭空间
定义在确定的线性赋范空间 上的线性连续（有界）泛函的集合，按泛函的范数及线性运算（加法和数乘运算）而成的赋范空间，称为 的共轭空间，记作 。
对偶空间的元素是 向量 ，而共轭空间的元素是线性泛函 。
应用领域
物理学
对偶空间可广泛应用于物理学等自然学科中，例如在力学中，常见的对偶空间有力和位移， 应力 与应变等。此外，还可以应用对偶空间的思想来推导 刚体 力学中的静力平衡条件和运动学几何条件 。
计算机科学与技术
对偶空间在 计算机科学与技术 中也具有较为广泛的应用。对偶空间跟踪算法是一种集中式算法，需要一个计算中心计算当前需要的跟踪节点并向这些节点发出指令，只有那些包含映射点的传感器节点才需要被激活。对偶空间跟踪算法需要较少的跟踪节点就能完成跟踪任务，从而有效地节省能量。仅通过局部传感器节点的协作很难有效跟踪大面积目标，通过将侦测目标转换为寻找目标边界的行进轨迹，可以有效简化跟踪目标的难度。利用对偶空间转换，将边界变换为点，将传感器节点转换为直线，能够有效地确定跟踪节点 。
遥感影像
对偶空间还可以应用于遥感影像领域，例如可以基于对偶空间的理论进行高分辨率遥感影像道路提取，该算法的主要步骤为通过投影换，分别将直线的灰度级 标准差 及其边缘 梯度 矢量均值映射到直线 方程 的对偶空间；在对偶空间上，根据直线的标准差和边梯度量的峰谷分布规律检测道路目标；根据已检测的目标位置，用搜索和跟踪的手段提取连接道路网 。