拓扑群

拓扑群，又名连续群，是具有拓扑空间结构的群。

正文

又名连续群，是具有拓扑空间结构的群。设 G 是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间 G × G 到拓扑空间 G 上的映射m∶( x , y )→ x · y 及从 G 到 G 上的映射 ƒ : x → x -1 都是连续映射，则称 G 为拓扑群。如果 G 作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的，则称 G 为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如, n 维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群； 实数 域 R 上所有 n 阶非奇异方阵所成的乘法群 GL ( n , R ),再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群；而所有行列式为1的正交矩阵所成的群 SO ( n , R )是一个紧连通拓扑群。

从拓扑群 G 到拓扑群 H 内的映射 ƒ : G → H ,如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么 ƒ 称为从拓扑群 G 到拓扑群 H 的同态，简称同态。如果同态 ƒ 是 双射 , 而且逆映射 ƒ -1也是连续的，那么 ƒ 称为拓扑群 G 到拓扑群 H 上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。

在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

拓扑群的结构是比较均匀的，一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设 G 为群, 为 G 的某些子集构成的集合。如果 适合下列五个条件：① ，其中 e 为 G 的单位元素；②对 U 、 V ∈ ,存在 W ∈ 使 W U ∩ V ;③对每个 U ∈ ,存在 V ∈ 使 VV -1嶅 U ;④对每个 U ∈ 及 α ∈ U ，存在 V ∈ 使 Vα 嶅 U ；⑤对每个 U ∈ 及 α ∈ G ,存在 V ∈ 使 α -1 Vα 嶅 U ,那么在 G 中可以引进惟一的拓扑，以{ Uα ｜ U ∈ , α ∈ G },为拓扑空间的完全邻域组，使 G 成为拓扑群，亦即拓扑群 G 的拓扑结构完全决定于单位的完全邻域组 ,只要拓扑群中有一点是闭集，那么每一点都是闭集，从而是豪斯多夫空间，并且这样的拓扑群的拓扑空间是正则的。连通拓扑群作为抽象群都可以由它的单位的一个邻域来生成。

如果拓扑群 G 的子集 H 是群 G 的子群，那么 H 加上由 G 的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称 H 为拓扑群 G 的拓扑子群；如果 H 又是 G 的闭（开）子集，那么 H 称为 G 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群 G 的子群 H 的闭包 啛 也是拓扑子群。拓扑群 G 的中心与换位子群都是 G 的闭正规子群。给出拓扑群 G 的子群 H ,就可以有左陪集的集合 G / H ={ αH 丨 α ∈ G },有从 G 到 G / H 上的自然映射π∶ G → G / H ,π( α )= αH ,对 α ∈ G , G / H 上使π连续的最强拓扑，使 G / H 成拓扑空间，称为 G 关于子群 H 的左陪集空间。同样有右陪集空间 H \ G 。于是, G / H 是豪斯多夫空间当且仅当 H 是闭子群。 G / H 是离散的，当且仅当 H 是开子群。如果 H 是拓扑群 G 的正规子群，那么商群 G / H 再加上上述陪集空间拓扑，使 G / H 成拓扑群，称为拓扑群 G 按正规子群 H 所做得的商群。这时，从拓扑群 G 到拓扑群 G / H 的自然映射 π是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本 定理 的同态定理：如果 ƒ 是从拓扑群 G 到拓扑群 G 1上的开同态映射， N 为 ƒ 的核，那么 N 是 G 的闭正规子群，而且由 ƒ 导出 G / N 到 G 1上的映射是拓扑群间的同构映射。

在研究拓扑群的结构及讨论拓扑群上函数的性质时，一个非常重要的有力工具是，在局部紧拓扑群 G 上可以建立起不变 测度 与不变积分，即 G 有一个适当广的可测子集类（ 埃米尔·博雷尔 子集类）,在这个类集上可以有一个测度 μ ，使得对 G 中的任一元素 α ，可测集 M 的测度 μ ( M )与集合 Mα 的测度 μ ( Mα )相等。这种测度称为局部紧群 G 上的哈尔测度。它是A.哈尔于1933年首先建立起来的理论。可以证明, 除了一个 常数 因子外，局部紧群上的哈尔测度是惟一确定的。紧子集上的哈尔测度是有限的，因此, 在紧群 G 上哈尔测度总可以标准化为 μ ( G )=1。有了 测度 就可以在局部紧拓扑群上建立起不变积分的理论。1934年J. 约翰·冯·诺依曼 用比A.哈尔简单得多的方法，在紧群上直接建立起不变积分的理论。早在1927年,F.彼得与（C.H.）H. 赫尔曼·外尔 已经在讨论紧李群的线性表示时用到了不变积分。

拓扑群的表示理论也是研究拓扑群的一个重要方面。从拓扑群 G 到所有 n 阶非奇异方阵所成的拓扑群 GL ( n , C )中的同态，称为 G 的一个线性表示。与有限群的线性表示理论相似，紧拓扑群的线性表示也具有完全可约性、正交性、完备性。所谓完全可约性，是指紧拓扑群的任一线性表示都是不可约表示的直和。所谓正交性，是指紧群 G 的任意两个维数各为m与 n 的不等价的不可约表示 ρ 与 σ , ρ : x → ρ ( x )=( g ij( x )), x ∈ G , i , j =1,2,…,m; σ : x → σ ( x )＝( h kl( x ))， x ∈ G ， k ， l ＝1,2,…, n ，有关系式 ，当 i ≠s或 j ≠ t 时；式中积分是群 G 上的不变积分, 抧 ij( x )、 ( x )分别是 g ij( x )、 ( x )的共 轭 。

所谓完备性，是指如果 Ω 表示紧群 G 的所有不可约表示中所出现的连续函数 g ij( x )全体，那么 G 上任一连续函数都可用 Ω 中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得－外尔定理。

在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群 G 的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集，则 G 称为局部欧氏群。许多数学家在研究 戴维·希尔伯特 第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。Л.C. 列夫·庞特里亚金 于1934年解决了交换群的情况， 约翰·冯·诺依曼 解决了紧群的情况，D. 伯纳德·蒙哥马利 和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群，从而肯定了D.希尔伯特的猜测。

拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系，在物理学中有大量的应用。