二阶 导数 是 一阶导数 的导数，从原理上，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是 函数图像 的凹凸性。
代数记法
二阶导数记作即 。
例如： 的导数为 ，二阶导数即 的导数为 。
几何意义
（1） 切线 斜率 变化的速度，表示的是一阶 导数 的变化率。
（2） 函数的凹凸性 （例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有
可如果加速度并不是恒定的，某点的加速度表达式就为：
(即速度对时间的一阶 导数 )
又因为 所以就有：
即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数
( 的一阶导数）
( 的二阶导数)
定义
以 导数 定义法定义：如果函数 的导数 在x处可导，则称 的导数为函数 在点x处的二阶导数，记为 。
以极限定义法定义：函数 在 处的二阶导数 是 导函数 在 处的导数，即
物理意义
以 物理运动 为例，我们知道， 变速 直线运动 的速度u(t) 是位置函数s(t) 对时间t的 导数 ，即
这种 偏导数 的导数 或 称为 对 的二阶导数，记作
所以， 直线运动 的加速度就是位置函数是s(t)对时间t的二阶导数。
性质
（1）如果一个函数 在某个区间 上有 （即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间 上的任意 总有： ，如果总有 成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有 （即二阶导数）>0恒成立，那么在区间 上 的图象上的任意两点连出的一条 线段 ，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
（2）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的 极值 。当一阶 导数 等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为 驻点 。
（3）函数凹凸性。规定曲线在a点上凹为正，下凹为负（以下均如此设定），则凹向的正负与的正负一致。设 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，那么，
（1）若在 内 ,则 在 上的图形是 凹 的（上凹为正）；
（2）若在 内 ,则 在 上的图形是 凸 的（下凹为负）。
例题
解：用 导数 定义求解：