取整函数是一类将实数 映射 到相近的整数的函数，在数学和 计算机科学 中有广泛应用。常用的取整函数有下取整函数和上取整函数。下取整函数，也称为 高斯函数 或floor函数，表示不超过x的整数中最大的一个。上取整函数，也称为ceil函数，表示不小于x的整数中最小的一个。取整函数在 数论 、函数绘图、计算机领域以及微积分中都有重要应用。
定义
不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。
称为x的 小数 部分，记作{x}。
（需要注意的是，对于 负数 ，[x]并非指x 小数点 左边的部分，{x}也并非指x小数点右边的部分，例如对于负数-3.7， ，而不是-3，此时 ，而不是-0.7.）。
相关概念
【阶梯曲线】
即取整函数的在定义域 ， 值域 的图形，在x为整数值处，图形发生跳跃，越度为1。
性质
性质1 对任意 ,均有 。
性质2 对任意 ,函数 的值域为[0,1)。
性质3 取整函数( 高斯函数 )是一个不减函数，即对任意 ,若 ,则 。
性质4 若 ,则有 .后一式子表明 是一个以1为周期的函数。
性质5 若 ,则 。
性质6 若 ,则 。
性质7 若 ,则在区间[1,x]内，恰好有 个整数是n的 倍数 。
性质8 设p为 质数 , ,则p在n!的质因数分解式中的幂次为
厄米特 恒等式
。 。
应用
取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。