在测度论中，叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致连续的条件。这个 定理 以 俄罗斯 物理学家和几何学家 德米特里·叶戈罗夫 命名，他在1911年出版了该定理。叶戈罗夫定理与紧支撑 连续函数 在一起，可以用来证明可积函数的卢津定理。
定理的陈述
设 为一个可分度量空间（例如 实数 ，度量为通常的距离 ）。给定某个 测度 空间( )上的 值可测函数的序列 ，以及一个有限 测度的可测 子集 ，使得 在 上 几乎处处收敛于极限函数 ，那么以下结果成立：对于每一个 ，都存在 的一个可测子集 ，使得 ，且 在相对 补集 \ 上一致收敛于 。
在这里， 表示 的 测度。该 定理 说明，在 上几乎处处逐点收敛，意味着除了在任意小测度的某个子集 上外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。
假设的讨论
注意 的假设是必要的。在勒贝格测度下，考虑定义在实直线上的实值指示函数的序列：
这个序列处处逐点收敛于零函数，但对于任何有限 测度 的集合 ，它在 \ 上不一致收敛。度量空间的可分性是需要的，以保证对于 值可测函数 和 ，距离 也是 的可测实值函数。
证明
当 增加时这些集合逐渐变小，意味着 总是 的 子集 ，因为第一个并集包含了较少的集合。一个点 ，使得序列 收敛于 ，不能位于每一个 中（对于固定的 k ），因为 最终必须离 比离 更近。因此根据在 上 几乎处处逐点收敛的假设，有：
对于每一个 。由于 的 测度 是有限的，我们便可从上面推出连续性；因此对于每一个 ，都存在某个 自然数 n ，使得：
对于这个集合中的 ，我们认为逼近 的 邻域的速度太慢。定义
为 中所有点 的集合，使得逼近 的至少一个 邻域的速度太慢。因此，在集合差 \ 上，我们便得出一致收敛。
根据 的 可加性，并利用几何级数，我们便得到：