正多边形

正 多边形 是指二维平面内各边 相等 ，各角也相等的多边形，也叫正多角形。

定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做 正多边形 。

正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的 中心 。

正多边形的外接圆的半径叫做 半径 。

中心到圆内切正多边形各边的距离叫做 边心距 。

正多边形各边所对的外接圆的 圆心角 都相等，这个圆心角叫做正多边形的 中心角。

有关计算

外接圆

把圆分为 等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，也就是正n边形的外接圆。边长为a的正n多边形的半径。

内切圆

把圆分为 等份，经过各分点作圆的 切线 ，以相邻切线的交点为顶点的 多边形 就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆。边长为a的正m边形的边心距。

内角

正n边形的内角和度数为：（n－2)×180°；正n边形的一个内角是（n－2)×180°÷n。

外角

正n边形外角和等于

所以正n边形的一个 外角 为： .

所以正n边形的一个 内角 也可以用这个公式： .

中心角

任何一个正多边形，都可作一个 外接圆 ，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的 圆心角 ，因此这个角就是360度÷边数。

正多边形 中心角：

因此可证明，正n边形中， 对角线

在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线，就成了顶点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。三角形 内角 和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和 。

对角线数量的计算公式： 。

面积

设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn， 边心距 为rn，则 ， 周长 ，面积 。

对称轴

正多边形的对称轴——

奇数 边：连接一个顶点和顶点所对的边的 中点 的 线段 所在的直线，即为对称轴；

偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴。

正n边形的边数、角数和对称轴数均等于n。当边数n为偶数时，正n边形同时也是中心对称图形。

镶嵌规律

在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙，就是 等边三角形 、正方形、正 六边形 。因为正三角形的每一个角等于60度，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360度；正方形的每个角等于90度，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度；正六边形的每个角等于120度，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和也等于360度。

如果用别的正多边形，就不能达到这个要求。例如：正五边形的每只角等于108度，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙处又放不下第四个正 五边形 ，因为108度*4=432度，大于360度。

尺规作图

直尺、 划规 和量角器可以画出任意正多边形。但是在 古希腊 时，作图只使用没有 刻度 的直尺（unmarked ruler）和圆规（ 两脚规 ）。用尺规作正偶边形如 等正多边形并非难事。但对正奇边形如3,5,7,9,11,13,15等的作图，在当时是件困难的事，而且并非全都可以作图成功。 1798年， 德国 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 只有19岁，他成功的以圆规直尺做出一个正十七边形， [1801年数学家高斯证明：如果 费马数 k为 质数 ，那么就可以用直尺和圆规将 圆周 k等分。但是， 高斯 本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）] 给出。并证明了正多边形的边数只有是 皮耶·德·费玛 质数或不同的费马质数乘积才可以 尺规作图 出来，当 高斯 去世后，人们为了纪念这位伟大的数学家，在他的故乡(Brunschweig)的纪念碑上刻了一个正17边形。