热传导 方程 （或称热方程）是一个重要的 偏微分方程 ，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
物理动机
热传导 在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
其中： 表温度，它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的 函数 ； 是空间中一点的温度对时间的变化率； 与 温度对三个空间坐标轴的二次 导数 ； k 是热 扩散率 ，决定于材料的 热传导 率 、密度与热容。
热 方程 是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。如果考虑的 介质 不是整个空间，则为了得到 方程 的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个 稳态 （ 热平衡 ）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热 方程 也是 抛物线 偏微分方程 最简单的例子。利用 拉普拉斯 算子，热方程可推广为下述形式
其中的 是对空间变数的拉普拉斯算子。
热方程支配 热传导 及其它 扩散过程 ，诸如粒子扩散或 神经细胞 的动作 电势 。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其 非线性 的推广型式也被应用于影像分析。 量子力学 中的 薛定谔方程 虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热 方程 违背 狭义相对论 ，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方 光锥 外的影响通常可忽略不计，但是若要为 热传导 推出一个合理的速度，则须转而考虑一个 双曲线 型 偏微分方程 。
应用
热方程在许多现象的 数学模型 中出现，而且常在 金融数学 中作为 期权 的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的 差分方程 可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有 解析解 ，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热 方程 可以用 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型。
参见
• 热
• 偏微分方程
• 发展方程