并集公理

并集公理（axiom of union）是集合论中一条重要的公理，其内容为对任何集合X，存在X的所有元素的并集。

19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了数学界长期以来对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论，也称为古典集合论。 1899年，康托尔写给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）的信中提到了并集公理的早期形式：每当有集合的集合时，这些集合的元素再次形成一个集合。古典集合论中对集合概念的不明确会导致一系列悖论，为了消除悖论，对集合的概念必须加以限制，最终导致了公理集合论的发展，较为著名的有ZF 公理系统等。1908年，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermerlo）正式提出并集公理，并发现，该公理为关于集合存在性的公理。后来，乔治·布洛斯（George Boolos）利用阶段论的阐述给出了公理的推导思路。

利用并集公理可以定义集合的并运算、包含关系，构造任意的、可能无穷的集合的收集。并运算具有交换律、结合律等性质。 ZF 公理系统中还包括外延公理、空集存在公理等理论，它们不是独立存在的，如，并集公理可以用于对集公理的证明。在其他公理系统中，并集公理具有不同的形式。

定义

并集公理指的是：对任何集合，存在的所有元素的并集。该公理可形式化为：。

利用并集公理可以定义集合的并运算，例如，，等；也可以定义集合的包含关系：。此外，并集公理还能构造任意的、可能无穷的集合的收集。

简史

背景与雏形

19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了长期以来数学界对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论。鉴于集合论的的近代和现代发展，通常把康托尔当时所创立并在康托尔时代发展起来的集合论叫做古典集合论。古典集合论的创立扩充了数学研究对象，为整个经典数学的各个分支提供了共同的理论基础。并集公理的早期形式可在1899年康托尔写给戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）的信中发现：每当有集合的集合时，这些集合的元素再次形成一个集合。

提出与发展

由于古典集合论中的元素可以是各种客体，如符号、文字、声音、图像等等，在广泛的应用领域中，许多概念交叉引用，会产生一些悖论。为了消除悖论，对集合的概念就必须加以限制，最终导致了公理集合论的发展。公理集合论中比较有名的有ZFC系统（Zermelo-Fraenkel-Cohen）与GBN（Gdöel-bernays-Von Neumann）系统。并集公理由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermerlo）于1908年正式提出。他在1930年再次提到该公理，并研究了并集公理和系统中其他公理的区别，发现，并集公理是关于集合存在性的公理。后来，乔治·布洛斯（George Boolos）利用阶段论的阐述给出了该公理的推导思路。

衍生概念

并运算

集的并，用表示，指集，其中是并集公理断言存在的集。常把写作或，把写成。

交运算

集的一般交（简称为的交），用表示，指集。是由的所有成员的全部公共元素组成，常把写作或 ,有。

但是，没有与并集公理对应的交集公理，该运算是通过分类公理模式来定义的。

并运算的性质

1. 交换律：。

2. 结合律：。

3.幂等律：。

4. 为并运算的单位元：。

5.并对交的分配律：；。

6.如果，，那么。

7. 的充分必要条件是。

8.吸收律： ; 。

9.更一般形式的结合律：。这里是集族的标号集，是集族的标号集。

10.更一般形式的并对交的分配律：

。

其他公理

第一个集合论公理系统是恩斯特·策梅洛在1908年提出来的，在20世纪20年代弗兰克尔（Abraham Fraenkel）和斯柯伦（Thoralf Skolem）对策梅洛的原来的七条公理作了若干改进并增加了一（或二）条新公理。这个新的集合论公理系统通称为ZF系统（策梅洛—弗兰克尔系统）；ZF系统加上选择公理，称为ZFC系统。ZF系统是最通用的集合论公理系统。已经证明，这个系统对于发展集合论是足够的，并且从它推不出任何一个已知的悖论。除并集公理外，ZF公理系统还包括外延公理、空集存在公理、对集公理、子集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理、正则公理。

外延公理

如果与含有相同的元素，则它们相等（即），即一个元素完全由它的元素所决定。

空集存在公理

存在着一个不含任何元素的集合。由外延公理，空集合是唯一的。

对集公理

任给两个集合、，存在仅含、为元素的集合。例如，设，，则。

子集公理

对于任何集合和含一个自由变元的公式，存在一个集合，的元素是那些满足的的元素。

幂集公理

对于任何集合，也是集合，它恰由集合的全体子集组成。

无穷公理

存在着集合族满足；对于任意集合，存在集合，使得集合恰含集合中的所有元素，且含有元素。换言之，存在一个集合，它含有无穷多个元素。

替换公理

若对于，使得公式成立，则对于任意的集合，存在恰含元素的集合，使得对某个，公式成立。换言之，由公式所定义的“有序对”的类的定义域包含在中，则它的值域可以限制在集合中。

特别当公式仅含一个变元时，即为时，则有关于公式的子集公理：对于任意集合，存在着，它恰含集合中满足公式的元素。

正则公理

任意非空集合必有一个极小元。换言之，对于任意非空集合，必有，且对任何，有。

其他解释

NBG系统

另一个常见的公理系统 ——NBG系统是约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在1920年首先提出来的。伯尔奈斯（Bernays）在从1937年开始发表的一系列重要文章中，发展了一个公理系统，这个系统基本上沿着冯·诺依曼的观念，后来库尔特·卡塞雷斯（Kurt Gödel）又对这个系统作了若干修改，形成了现在说的NBG公理系统。该系统和ZF系统的不同，主要是：（1）NBG系统区分“集合”和“类”，能作其它集合或类的元素是集合，不能作其它的类的元素的类，叫做真类。NBG系统对类和集合使用两种变元。（2）NBG系统的公理是有穷的。

在ZF系统和NBG系统之间，若给出一定的对应关系，则可有下述结果：（1）所有ZF系统的定理都是NBG系统的定理；（2）NBG系统中关于集合（不说及类）的定理都是ZF系统的定理；（3）ZF是协调的，当且仅当NBG是协调的。

并集公理在修正的NBG系统中为。

定义

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