良序集（well-ordered set），也称正序集，若全序集A的任一非空序 子集 必有最前元素，则称A为良序集。 一个集合A，如果满足 是有序集， 则这个集合被定义为良序集，并记为 。
良序集最早在1895年由 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 在论证了相同的势与不同的势的集合都存在之后，继续研究集合这个概念并且引进了基数与 序数 的理论，为了引进新的序数而提出的概念。
良序集还有很多普通序集不具备的重要性质。如良序集的 子集 是良序集；不空的良序集必有首元素；两集相似，如果其中一个是良序的，另一个也必然是良序集等。 良序集在数学中良序集作为 自然数 的 数学归纳法 之一，是数学推理常用的工具。同时良序集法在 计算机 、农业等方面都有广泛的应用。
定义
如果一个集合 满足 ，则被定义为良序集，并记为 。良序集又称正序集。
简史
在19世纪初期,数学界对 数学分析 基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年， 波尔查诺 ( 波尔扎诺 ,B.)发表著作《无穷悖论》，并肯定了实无穷的存在,建立了集合等价的概念，还注意到了无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。 1874年， 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 (G.Cantor，1845-1918)创立的集合论，是现代数学的基础。 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体，其中构成集合的这些对象则称为该集合的元素。
康托尔 在论证了相同的势与不同的势的集合都存在之后，继续研究集合这个概念并且引进了基数与 序数 的理论。后来康托尔为了引进新的序数，他把全序集限制在良序集的范围之内。康托尔在1895年发表的文章中提出了良序集的概念即一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一 子集 都有为首的元素。 后来关于良序集的相关问题还被 德国 数学家 戴维·希尔伯特 在1900年的国际数学会议上，列入了著名问题的名单中。
性质
良序集有许多普通序集不具有的重要性质。
性质1： 良序集的 子集 是良序集。
证明： 设 为任一良序集。当 时 必为良序集，否则 至少存在一子集 没有首元素，那么 也是 的子集，无首元素，这与 是良序集矛盾。
性质2： 不空的良序集必有首元素。
证明： 不空的良序集 本身是 的一个 子集 ，应有首元素。
性质3： 两集相似，如果其中一个是良序的，另一个也必然是良序集。
证明：设 ，而 不是良序集，则 至少存在一个 子集 无首元素，如果 ，那么将有无限递降序列
这里对每个 有 ，并且永远不会终止，设 到 的相似对应为 则 ，并且对于每个 有 ，把这里列出的所有 作成一个A的 子集 ，它无首元素，这与 为良序集是矛盾的。这证明了 也是良序集。
性质4： 良序焦除了末元素外(假如有末元素的话)，每元素必有元素紧跟其后。
证明： 如 不是 的末元，那么必然存在 ，满足 ，把所有满足此式的 收集为一个集合 ， 是 的一个子集，设其首元为 ，那么 就是紧随 后的元素。事实上 ，并且若 ，由 的定义，必有 ，故在 与 之间不会有其它的元素。
性质5： 在良序集中不能选取一个如下的无限单调减少元素列， 由性质3可证。
相关定理
定理2： 若 为良序集，且 ，则 也是良序集。
证明 ： 设 是相似变换， 的任意非空子集 ，在 下 的象是 的非空子集 ，因为 是良序集，故 有最前元素 ， 就是 的最前元素。 的任意非空子集都有最前元素，故 是良序集。
例如 ， 是良序集。
设 为 的非空子集，在 中取任何元素 ，如果 不是 的最前元素，取 在 中确定的截段 ，则 ，为非空有限集。得这个最前元素就是 的最前元素。故 是良序集。
定理 3： 良序集除了最后元素外，每个元素都有后纪元。
证明 ： 设 为良序集，任取 ， 不是 的最后元素，取 在 的截段 ，作 ，则 是 的非空子集。它的最前元素就是 的后继元。
定理4： 良序集中不存在无限单调减少元素列
证明 ： 若存在 这样的元素列，则集 是良序集的 子集 而无最前元素，是矛盾的。
定理 5： 设 是良序集 的子集，则 到 的相似变换 对任意 必有 。
证明 ： 否则，有相似变换 及 使 设 为 中具有此性质的元素全体，则 ，故 必有最前元素 ，设 则 。因 ， ，因相似变换是保序的，故在 中有
则 ，这与 的最前元素为 矛盾，故必须有 。
定理 6： 二良序集若相似，则相似变换是唯一的。
证明 ： 设 都是良序集 到 的相似变换，若 ，则必有 ，使 设 ， ，则 与 的两个截段 ， 都相似，于是 ，与 定理 5推论2矛盾，故 。
定理7： 任何二良序集，或为相似，或为其中之一相似于另一集的截段。
定理8： 设 是两两不相似的良序集，则 中存在一个最短的集。
定理9： 良序集的全序和是良序集。
相关推论
推论1： 良序集不能与其任一截段相似，也不能与其任一截段的 子集 相似。
推论 2： 良序集的任何两个不同的截段不能相似。
推论 3： 良序集不能与其子集的一个截段相似。
相关概念
序关系
用 表示集合 上的一个 二元关系 ，这个关系被称为序关系。
序数
良序集的序型称为序数。如果序数有无限势，则称之为超限数。
偏序集
一个集合 与 上的一个 偏序关系 一起称为偏序集，记作 ，或 ，其中 是对应于有序集合 的一个普通符号，即用 代替有序对 。
全序集
链：设 是一个偏序集，若集合 的一个 子集 中任何两个元素都相关，则称这个子集为一条链。
全序集：若集合 是一条链，则偏序集. 称为全序集。
超限归纳法
把 数学归纳法 由 自然数 集合推广到任意良序集合，称这样的归纳法为超限归纳法。
超限归纳法： 令 是一个关于序 的良序集，令 是定义在 上的一个性质，即对任何 ， 或者成立或者不成立。对任何的元素 ，假定存在蕴含关系：一切 ， 成立必然能够得到 成立，那么，对于集合 性质 成立，即对任何 ， 成立。
第二数类
把全体有限 序数 所组成的集叫做第一数类。所以第一数类就是 自然数 集 。
把全体可数良序集的序数所构成的集称为第二数类，并记为 ，所以 。
良序关系
是一个偏序集，若 的任何非空子集 都有最小元，则称该偏序集为良序集，“ ”是 上的 良序关系 。
应用
在数学中良序集的超限归纳法，被用作数学推理和处理问题的常用的工具。 在 软件技术 中良序集法可以用来证明程序中可以截断和终止证明过程的运行。 在农业上良序集算法可以优化改善 顺德区技工学校 在使用中的弊端。
数学
关于 自然数 的 数学归纳法 ，是数学推理常用的工具。在集合论研究中提出良序集(即任何非空子集必有最先元素的有序集)的概念后，发现数学归纳法还可以推广到一般的良序集，即超限归纳法。 同时良序集的数学归纳法还被用作处理有限问题的推理基础。 “算术相容性”一开始在 戴维·希尔伯特 的“元数学”体系中属于一个不可判定命题，后来 德国 的数学家 格哈德·根岑 在1936年利用超限归纳法完成了对这个命题的证明。
软件技术
良序集法是 AL电子竞技俱乐部 Floyd在1967年提出来的一种证明程序终止性的方法。它在证明程序中可以截断和终止证明过程的运行。
良序集算法在农业上的应用
根据田间作物垄行间杂草离散的特点，基于图像矩阵，运用像素 子集 的良序性，结合垄宽先验知识得到垄行轨迹中心。同时，系统选择图像的绿色成分为目标特征空间，滤掉了非绿色的背景噪声，对光照也有一定的适应性为寻找垄行子集奠定了基础。