基本 不等式 （英文：arithmetic mean -geometric mean 不等式 ）也称平均值不等式、算术平均-几何平均不等式、AM-GM不等式、AG不等式等，是指在非负 实数 范围内，若干数的 几何平均数 不超过它们的算术平均数，当且仅当这些数 相等 时等号成立。 数学语言可表示为：设 为 个非负实数，它们的算数平均值记为 ，几何平均值记为 ，则有 ，当且仅当 时，等号成立。有时也指均值 不等式 链（英文： 平均数 Inequality Chain）：
。
基本不等式的二维形式最早由 古希腊 数学家 欧几里得 （英文： Euclid ）所证明。 1821年， 法国 数学家 奥古斯丁-路易·柯西 （ 法语 ：Augustin-Louis Cauchy ）使用一种反向归纳法证明了一般形式的基本不等式。 此后，对基本不等式的不同证法一直是人们研究的热点，至今已有上百种不同的证明方法。
基本不等式有加权形式、积分形式、矩阵形式等众多形式。 一般形式的基本 不等式 也可以推广成均值不等式链（英文： 平均数 不等式 Chain）、雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）、雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）、谢尔宾斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）等。
基本不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明不等式、解几何问题、求 极值 、比较大小等，它本身也是 对数函数 凹性的体现。 基本不等式在 经济学 中可用来计算收益率和比较不同计算方法得到的年收益率等，在 计算机 领域中可以对图形的数字化数据进行细化和转换等处理。
定义
设 为 个非负 实数 ，它们的算数平均值记为 ，几何平均值记为 ，则算数平均值与几何平均值之间有如下的关系 ，即 ，当且仅当 时，等号成立。
示例： ，则 ， ，显然 。
历史
早在公元前500年， 古希腊数学 学派毕达哥拉斯学派（ 英语 ： Pythagoras ）中就有 正数 的算数 平均数 和 几何平均数 的概念，他们对其进行了研究并提出了一种计算方法。 二维形式的基本不等式 是 古希腊 数学家 欧几里得 （英文： Euclid ）证明的。 古希腊 亚历山大 学派的数学家 帕普斯 （英文：Pappus）在《 数学汇编 》（英文：Synagoge） 中将 两种平均值放入同一个圆中，直观地展示了它们的大小关系。 1821年， 法国 数学家 奥古斯丁-路易·柯西 （ 法语 ：Augustin-Louis Cauchy ）在他的书《 皇家理工学院 的分析课程，第一部分，代数分析》（法语：Cours d' analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique）中使用反向归纳法给出了一般形式的基本不等式 的证明。 此后，对基本不等式的不同证法一直是人们研究的热点，至今已有上百种不同的证明方法。
证明
数学归纳法
方法1
（1）当 时，已知结论成立。
（2）假设对 时命题成立，即对于 ，有 ，那么，当 时，
由于
关于 是对称的，任意对调 与 ，即将 写成 ， 写成 ， 和 的值不改变，因此不妨设 ， ，显然 ，以及
即 ，对 个 正数 ，由归纳假设，得
而 ，
于是 ，两边乘以 得
从而，有 。
直接验证可知，当且仅当所有的 相等 时等号成立，故命题成立。
方法2
（1）当 时，已知结论成立。
（2）假设对 时命题成立，即对于 ，有 ，那么，当 时，
于是 。
由上得知，当且仅当所有的 相等 时等号成立，故命题成立。
方法3
（1）当 时，已知结论成立。
（2）假设对 时命题成立，即对于 ，有 ，那么，当 时，
所以 ，故得 。
从而命题成立。
方法4
这个方法是 斯里兰卡 数学家迪亚南达（锡兰语：Punchihewa Harischandra Diananda）于1960年提出的证明方法。
先介绍 杨氏不等式 。
杨氏不等式（英文：Young‘s Inequality ）：若 ，且 时则有 ，当且仅当 时，等号成立。
下面依然使用 数学归纳法 ：
（1）当 时，已知结论成立。
（2）假设对 时命题成立，即对于 ，有 ，那么，当 时，由 杨氏不等式
记
，即 。
则 成立。
方法5
这个方法也叫反向归纳法，是 法国 数学家 奥古斯丁-路易·柯西 （ 法语 ：Augustin-Louis Cauchy ）于1821年提出的证明方法。
第一步，从 时 成立容易推出 时该式也成立：
由此推出 时 成立。
第二步，设 ，则必存在 ，使得 。
即 ，从而 。
方法6
这个方法是 苏格兰 数学家乔治·克里斯托（英文：George Chrystal）在其著作《代数论》（英文：Algebra）给出的证明方法。
先介绍 二项式定理 。
二项式定理（英文： 二项式 theorem）：对任意正整数 ，有如下公式成立：
。
（1）当 时，已知结论成立。
（2）假设对 时命题成立，即对于 ，有 ，那么，当 时，由对称性，不妨设 是 中最大的，由于 ，
设 ，则 ，并且有 。由 二项式定理 ，则有
。
从而 时也成立。 不等式 得证。
构造数列法
令 ，如果能证明 关于 是单调增加的，即
，那么由 ，得到 ，则不等式成立。
现在证明 的单调性。
设 ，从而有
这表明 。另外，由于 ，则对任意 ，得 。从而 不等式 成立，当且仅当所有的 相等 时等号成立。
多项式展开法
设 ，由 多项式 展开式 ，
因为
所以， ，于是，
两边开 次方，得到 ，因为 ，所以
。
拉格朗日乘数法
求 在条件 下的最大值，作辅助函数
对 对 偏导数 ，得出 。对 求和，得到
，即 。从而 。于是 在 点取得最大值
，即 。从而 ，得证。
利用排序不等式
先介绍排序不等式。
排序不等式（英文：Rearrangement Inequality）：设两个实数组 和 满足
，则
其中 是 的一个排列，并且等号同时成立的 充分必要条件 是 或 成立。
令 ，由排序不等式，得
所以 。
利用琴生不等式
先介绍琴生不等式。
琴生不等式（英文：Jensen’s Inequality）：设 是 上的 凸函数 ， ，则 。
取 ，令 ，则 ，由琴生 不等式 ，有
，取 即有 。
其他形式
加权形式
对于 ， 是一组非负 实数 ，有如下的基本不等式的加权形式：
。
特别地，有 ，式中 。
积分形式
也称极限形式。设函数 及 ，在 上有定义，且下面所出现的积分有意义。记
， ， 。以上分别被称为 的加权算术平均，加权 次幂算数平均和加权几何平均。其中 称为权函数。则有如下的大小关系：
，即 。（ ，包括 的情况）
特别地，对任意在区间 上可积的正值函数 ，都有 成立。
矩阵形式
对于系数都是正 实数 的矩阵 ，若 ， ，则满足
。
对于 都是 正定矩阵 的情况，若记 为矩阵 的酉不变 范数 ，则 成立。
几何含义
记长方形的两个边长分别为 ，则它的 周长 为 ，面积为 。与该长方形面积相同的正方形的边长为 ，周长为 。根据二维形式的基本不等式有 ，即长方形的周长大于正方形的周长。从而有结论：在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最小。
一般形式的基本不等式则指出，在所有体积相同的 维几何体中，正 维 立方体 的边长和最小。
推广
均值不等式链
对于正 实数 ，有如下的不等式链成立：
以上四式写成符号分别为：HM，GM，AM和QM，即 调和平均数 不超过 几何平均数 ，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过 平方平均数 ，简记为“调几算方”。该 不等式 链被称为均值不等式链（英文： Mean Inequality Chain）。
雷多不等式
雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）:设 ，则 ，仅当 时等号成立。
波波维奇不等式
波波维奇 不等式（英文：Popovic’s Inequality）:设 ，则 ，仅当 时等号成立。
雅各布斯塔不等式
雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）:设 ，则 ，仅当 时等号成立。
卡森不等式
卡森不等式（英文：Carlson’s Inequality）:
（1）设 ，令 ，则
。
（2）设正 实数 中每次取 个数的算数平均和几何平均分别定义为
，则 。
幂平均不等式
（1）
（2）
（3）记 ，则
且 。
谢尔宾斯基不等式
谢尔宾斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）： ，仅当所有 相等 时等号成立。
应用
初等数学
证明一般不等式
例：设 ，证明 。
证明：由基本不等式，得 。、
又 ，所以有 。
证明条件不等式
例：假设 正数 满足 ，证明 。
证明：由假设得 ，再由基本不等式得
，当且仅当 时等式成立。于是
由此，得 。所以， ，当且仅当 时成立。
解几何问题
例： 的三边长 满足 ，求证
证明：因为
所以，欲证的不等式等价于
构造函数 ，一方面
所以
另一方面，因为 是三角形三边长，所以 ，且 均为 正数 ，利用基本 不等式 ，有
所以
从而，欲证不等式成立。
求极值
例：若 是 正数 ，则 的最小值是
证明：
由 得 ， ，
以上三式相加得
等号成立当且仅当 时成立。
比较大小
例：已知 ，比较 的大小。
解：当 时， ，同理 ，故 。
当 时， 。
当 时， 。又 ，而
所以 。
经济学
基本不等式在 经济学 中可用来计算收益率和比较不同计算方法得到的年收益率等。基本不等式也可以转换不同的形式以达到期望的效果。比如可以使用基本不等式 计算金融 回报，讨论收益的算术平均数、 几何平均数 和 方差 之间的精确关系和近似关系。
计算机技术
在计算机领域中可以用基本不等式处理图片。比如可以使用基本不等式对图形的数字化数据进行细化和转换，从而获得新的图形 索引 下的目标结果。 基本不等式也可以 计算网络 信号的信息。比如可以计算中继网络的组合平均性并讨论网络的平均错误率性能界限。