几何平均数是一种均值，用于指示一组数字的 集中趋势 或典型值。它是通过取n个变量值的连乘积的n次方根来计算的。几何平均数适用于 正数 ，尤其适合于具有指数性质的数据，如人口增长或金融投资的利率。它也是三个最经典的 毕达哥拉斯 平均数 之一，与算术平均数和 调和平均数 一起构成。
定义
几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
分为简单几何平均数与加权几何平均数。
1、简单几何平均数：
2、加权几何平均数：
特点
1. 几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。
2. 如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为 负数 或 虚数 。
3. 它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
4. 几何平均数的 对数 是各变量值对数的算术平均数。
应用
例：假定某地储蓄 年利率 （按 复利 计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。求此5年内该地平均储蓄年利率。
解：由
得到该地平均储蓄年利率：
几何意义
我们知道算术平均数， 不仅体现数字上的关系，而且体现将两个 线段 的和作为一个线段，再将其平均分为 相等 的两段；而 称为几何平均数，这个也体现了一个几何关系。
作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数。
中国古代数学书中提到的矩形面积时往往用长宽的几何平均数来表示。
主要用途
几何平均数主要用于：
1. 对比率、指数等进行平均。
2. 计算平均发展速度。
4. 连续作业的车间求产品的平均合格率。
知识扩展
几何平均数与算术平均数、 平方平均数 、 调和平均数 之间存在一定的大小关系：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。这一关系体现了不同 平均数 的特性和适用场景。
计算
几何平均数的计算公式为：
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}
在实际应用中，为了避免算术溢出或下溢，几何平均数的 对数 形式通常是优选的计算方法。这种方法通过计算所有数的对数之和，然后取指数，从而得到几何平均数。
与对数的关系
几何平均数可以表示为对数算术平均数的指数。这种表示方法在 计算机 语言中实现时更为方便，因为它减少了算术溢出或下溢的风险。
属性
几何 平均数 具有一些独特的属性，例如，它是唯一能够正确反映归一化比率的平均数。在比较电脑性能时，几何平均数能够提供一致的排名结果，而不会因为不同的权重分配而改变结果的排序。
应用
几何平均数在多个领域有着广泛的应用，包括 社会科学 、金融、 图像处理 、光学 涂层 、光谱平坦度、 几何学 等。在社会科学中， 联合国 人类发展指数 就采用了几何平均数来更好地反映统计数据的不可替代性。在金融领域，几何平均数被用来计算财务指标，如复合年均增长率(CAGR)。在图像处理中，几何均值 滤波器 被用作噪声滤波器。
长宽比
几何平均数在确定电影和视频的折衷长宽比时也有应用。例如，16:9的宽高比就是通过计算2.35:1和4:3的几何平均数得到的，这种方法在某种意义上提供了一个平衡，使得两种不同长宽比的图像都能在一定程度上保持其原有的比例。
光学 涂层
在光学涂层中，几何平均数用于确定最佳的 折射率 ，以最小化两个介质之间的反射。
光谱平坦度
在 信号处理 中，光谱平坦度是通过比较功率谱的几何平均数与算术平均数的比值来测量的。
在几何学中，几何平均数可以用来描述 直角三角形 的高度，以及椭圆的半短轴和 半长轴 。此外，它还可以用来计算到 地平线 的距离。
金融
在金融领域，几何平均数用于计算财务指标，如过去的FTOI指数和 英国 的RPIJ 通货膨胀率 。
在图像处理中，几何均值 滤波器 作为噪声滤波器，有助于改善图像质量。