初等代数 中，二项式是只有两项的 多项式 ，即两个 单项式 的和。
二项式是仅次于单项式的最简单多项式。
运算法则
与因子相乘
二项式与因子c的乘法可以根据 分配律 计算：
两二项式相乘
两个二项式 与 的乘法可以通过两次分配律得到： 两个线性二项式 与 的乘积为：
二项式平方
二项式 的平方为
二项式 的平方为
二项式的幂
的二项式 的 n 次幂可以用 二项式定理 或者等价的杨辉三角形展开，展开式系数呈现对称性，奇数项时中间两项系数最大且相等。
二项式因式分解
二项式可以因式分解为另外两个二项式的乘积：
二项式的递推
二项式展开后各项的系数为推广公式，其中，第1个数 ，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示
这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数 递推实际上是组合数由到的递推。
形式
线性形式
如果二项式的形式为 （其中 a 与 b 是 常数 ， x 是变量），那么这个二项式是线性的。
复数形式
复数 是形式为 的二项式，其中i是 的平方根。
定理
binomialtheorem
二项式定理 ，又称牛顿二项式定理，由 艾萨克·牛顿 于1664、1665年间提出。此 定理 指出： （其中 ）其中， 二项式系数 指 ,等号右边的 多项式 叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为 ,其i项系数可表示为n取i的组合数目。
组合数
1、
2、
3、
证明：由 可得
当 时，代入 二项式定理 可证明1
当 时代入二项式定理可证明2
4.组合数的性质：
（1）
（2）
（3）
系数性质
①对称性
②增减性和最大值：先增后减
n为偶数时，中间一项的 二项式系数 最大，为
赋值法
掌握“赋值法”这种利用 恒等式 解决问题的思想.
证明：n个 相乘，是从 中取一个字母a或b的积。所以 的展开式中每一项都是 的形式。对于每一个 ，是由k个 选了a,a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数）, 个 选了b得到的（b的系数同理）。由此得到 二项式定理 。
二项式系数 之和：
而且展开式中 奇数 项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非 自然数 的情况：
形式为 .
数形趣遇
二项式定理与 杨辉 三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算 数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题.用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.
【 图算 】 常数项产生在展开后的第5、6两项.用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数.简图如下：
图上得到 .
故求得展开式中常数项为
【点评】“ 式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.
杨辉 三角形本来就是二项式展开式的算图.对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.
杨辉 三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“ 逻辑思维 与直觉思维并重”的结果.这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.
利用二项式推出牛顿 切线法 开方
开立方公式 ：
设 ,求X.称为开立方。开立方有一个标准的公式： 例如， ，即求5介于1的3次方；至2的3次方；之间（ ， ）
初始值 可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取 按照公式：
第一步：
即 ， ， ， 。
即取2位数值，即1.7。
第二步：
即 ， ， ， 。
取3位数，比前面多取一位数。
第三步：
第四步：
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。即 ;当然初始值 也可以取1.1，1.2，1.3，...1.8，1.9中的任何一个，都是 。当然，我们在实际中初始值采用中间值，即1.5。
如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
例如， ：5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们取中间值2.5。
第一步：
即 ，
取2位数2.2。
第二步：
即 。
取3位数。
第三步：
即 .
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
展开。
带入公式就是开方公式。 即牛顿 切线法 就是在开方过程中把牛顿 二项式定理 转换成为牛顿切线法。