拉东测度

拉东 测度 是一种正则测度。抽象测度的简称，即非负可列可加的集函数，测度论研究的对象。

拉东在 变分法 、实变函数、 泛函分析 、微分几何、 相对论 的数学理论等方面都有所贡献，他利用变分法研究微分几何以及 对数 位势的 狄利克雷问题 ，发现了在 数论 中有重要应用的拉东曲线；还得到很有价值的拉东变换；在 实变函数论 中，引入了可包含 勒贝格积分 和斯蒂尔切斯积分的拉东积分，使积分概念得到进一步推广。

定义

拉东（ 氡 ）测度 ，是在豪斯多夫空间上的 埃米尔·博雷尔 测度，且具有局部有限及内部正则性质。

设 m 是豪斯多夫空间 X 的 博雷尔集 的σ- 代数 上的 测度 。 m 称为

例子

以下不是拉东测度：

性质

在X上的所有（正）拉东测度组成的带点锥 ，可以用下述 度量 使成为完备度量空间。定义两个测度 间的距离为

其中最小上界是对所有 连续函数 取的。

这个 度量 有一些限制。例如X上的 概率测度

关于拉东度量不是序列紧致，即概率测度序列未必有收敛子序列。这个性质在一些应用中会造成困难。另一方面，若X是紧致度量空间，那么Wasserstein度量使 成为紧致度量空间。

在拉东度量收敛意味着 测度 的弱收敛：

但反之则不必然。在拉东度量收敛有时称为强收敛，以便和弱收敛对比。