变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是 极值 函数：它们使得 泛函 取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。
概述
简介
变分法的关键 定理 是 莱昂哈德·欧拉 拉格朗日方程 。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它分辨不出找到的是最大值还是最小值（或者两者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在 拉格朗日力学 中，以及在 最小作用量原理 在 量子力学 的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在 纯粹数学 中的例子有， 伯恩哈德·黎曼 在调和函数中使用狄力克雷原理。 最优控制 的理论是变分法的一个推广。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如 希尔伯特空间 技术，摩尔斯理论，或者 辛几何 。 变分 一词用于所有 极值 泛函 问题。微分几何中的 测地线 的研究是很显然的变分性质的领域。 极小曲面 （肥皂泡）上也有很多研究工作，称为 高原 问题。
发展简史
变分法可能是从 约翰·白努利 (Johann Bernoulli)1696年提出 最速曲线 (brachistochrone curve)问题开始出现的. 它立即引起了雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli)和 洛必达 的注意，但欧拉首先详尽的阐述了这个问题。他的贡献始于1733年，他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字. 约瑟夫·拉格朗日 对这个理论的贡献非常大。拉格朗日(1786)确定了一种方法，但在对极大和极小的区别不完全令人满意。 艾萨克·牛顿 和 戈特弗里德·莱布尼茨 也是在早期关注这一学科。对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810)， Carl Friedrich Gauss(1829)，Simeon 西莫恩·泊松 (1831)， Mikhail Ostrogradsky(1884)，和Carl Jacobi(1837)都曾做出过贡献。 Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就。 Strauch(1849)，Jellett(1850)， Otto Hesse(1857)，Alfred Clebsch(1858)，和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告，但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的。他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。1900发表的第20和23个 戴维·希尔伯特 ( Hilbert )促进了更深远的发展. 在20世纪David Hilbert, Emmy Noether，Leonida Tonelli，Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。Marston 海象 将变分法应用在Morse理论中。 Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想 控制论 发展了新的数学工具。
方程
简介
欧拉- 拉格朗日方程 (Euler- Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键 定理 是 莱昂哈德·欧拉 拉格朗日方程。它对应于 泛函 的临界点。
值得指出的是，E-L方程只是泛函有 极值 的必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在应用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。
推导
对于泛函
固定两个端点，在 泛函 S取到 极值 时的函数记作g(x)，定义与这个函数“靠近”的一个函数， ，其中δg(x)在从 到 上都是小量，同时也满足，
这里δg(x)称为函数g(x)的变分。
因为在从任何函数代替g(x)都会使得泛函S取不到极值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量产生了增量，为，
将第一项 按照δg(x)和δg'(x) 幂级数 打开，并且注意到δg(x)和δg'(x)永远是小量，舍弃掉二次项及以上高次项，可得关于 和 一次项的和。则S取到 极值 的必要条件就是这些项的和的值为0.这些和称之为S的一阶变分（或者简称变分），变分为0记作，
按照幂级数打开后，可以得到，
将第二项分部积分得：
由于 ，于是第一项等于0，换而言之，就是这个等式成立，
于是对任何小的函数 该积分都等于0，于是只有被积函数等于0的时候才有可能。（这个论断是不严谨的，这里应该由Du Bois Reymond 引理 给出）于是我们得到 方程 ，
这就是E-L方程。
在力学上，这里的g用任何一个广义坐标q表示，x用t代替，而 ，那么 拉格朗日方程 则为，
物理学应用
物理学中 泛函 极值 问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
费马原理
费马原理 指出：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。假设 为光的路径，则光程可以下式表示：
其中 折射率 n(x,y) 依材料特性而定。
若选择 ,则 A 的一阶 导数 ( A 对ε的微分)为
将 括号 中的第一项用分部积分处理，可得 长城欧拉 拉格朗日方程
光线的路径可由上述的积分式而得。这可以看作上面E-L 方程 的特例。
大范围变分法
18世纪是变分法的草创时期，建立了 极值 应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始， 戴维·希尔伯特 在巴黎 国际数学家大会 讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见 莫尔斯理论 )。
变分原理
P. de 皮耶·德·费玛 从 欧几里得 确立的 光的反射定律 出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 约瑟夫·拉格朗日 把变分法用到 动力学 上。他引进广义坐标 ，动能T是 的函数,q'表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函数，又假定 是常量，即系统无耗散，令 ，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的 运动方程 ，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。
量子力学
经济学应用
变分法用于求解 经济学 中的动态最优问题，即给定目标函数和约束条件的情况下，求解使得目标函数维持最优状态的控制变量函数，也叫作“古典变分法”。下述两个问题都可以通过变分法解决，即通过 欧拉 方程得出其一阶条件。
拉姆齐模型
（积分区域为(0,T)）
（i是无风险收益率，W是工资， 是 的变动率）
， （终结线）
乔根森模型
（积分区域为(0,∞)）
变薇分法
变分法概念与寻常分析中的 导数 概念很为类似，但所联系的不是x的变化，而是函数y（x）的变化。如果函数y（x）使U（y）达其 极值 ，则U的变分 变为0。
几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一 泛函 的变分应该是0的“变分法原理”，由于这个原故变分法使许多重要的物理问题及技术问题得以解决。