约瑟夫·拉格朗日 力学， 分析力学 中的一种，由拉格朗日在1788年建立，是对 经典力学 的一种的新的数学表述。经典力学，最初的表述形式由牛顿建立，它着重分析位移，速度，加速度，力等 矢量 间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，运用 达朗贝尔原理 ，得到和 牛顿 第二定律等价的 拉格朗日方程 。但拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。并且，选取恰当的广义坐标，可以使拉格朗日方程的求解大大简化。
概念简述
拉格朗日力学 是分析力学中的一种，于1788年由 约瑟夫·拉格朗日 所创立。拉格朗日力学是对 经典力学 的一种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，是 分析力学 的重要组成部分。
力学系统由一组坐标来描述。比如一个 质点 的运动（在笛卡尔坐 标系中）由x，y，z三个坐标来描述。一般的，N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。力学系统中常常存在着各种约束，使得这3N个坐标并不都是独立的。力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。对于N个质点组成的力学系统，若存在m个约束，则系统的自由度为
哈密尔顿 量H可以通过对拉格朗日量进行 阿德利昂·玛利·埃·勒让德 变换得到。 哈密顿 量是 经典力学 的另一种表述哈密尔顿力学的基础。拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的 切丛 上的函数，而哈密尔顿量是相对应的 余切丛 上的函数。哈密尔顿量在 量子力学 中到处出现（参看哈密尔顿量 (量子力学)）。
信息
人物简介
约瑟夫·拉格朗日 1736年1月25日生于 意大利 西北部的 都灵 。父亲是法国陆军骑 兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了 几何学 。17岁时，他读了 英国 天文学家哈雷的介绍 艾萨克·牛顿 微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了 数学分析 ，开始专攻当时迅速发展的数学分析。
18岁时， 约瑟夫·拉格朗日 用 意大利语 写了第一篇论文，是用牛顿 二项式定理 处理两函数乘积的高阶 导数 ，他又将论文用 拉丁语 写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家 莱昂哈德·欧拉 。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被 戈特弗里德·莱布尼茨 取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。
1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分 极值 。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的 变分法 ，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使 约瑟夫·拉格朗日 在 都灵 声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时 欧洲 公认的第一流数学家。1756年，受 长城欧拉 的举荐，拉格朗日被任命为 柏林科学院 通讯院士。
1764年，法国科学院悬赏征文，要求用 万有引力 解释月球 天平动 问题，他的研究获奖。接着又成功地运用 微分方程 理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题( 木星 的四个 卫星 的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。
1766年 德国 的 腓特烈大帝 向 约瑟夫·拉格朗日 发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往 柏林 ，任 柏林科学院 数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是 艾萨克·牛顿 之后的一部重要的 经典力学 著作。书中运用 变分原理 和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。
1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年 腓特烈大帝 去世以后，他接受了法王 路易十六 的邀请，离开 柏林 ，定居 巴黎 ，直至去世。
这期间他参加了巴黎科学院成立的研究 法国 度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成 统一度量衡 工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位， 约瑟夫·拉格朗日 为此做出了巨大的努力。
1791年，拉格朗日被选为 伦敦皇家自然知识促进学会 会员，又先后在巴黎高等师范学院和 巴黎理工学院 任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《 复变函数 》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。
1813年4月3日， 拿破仑·波拿巴 授予他帝国 大铁十字勋章 ，但此时的 约瑟夫·拉格朗日 已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。
人物成就
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使 数学分析 与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称 法国 最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动( 三体问题 )、 行星 运动、轨道计算、两个不动中心问题、 流体力学 等方面的成果，在使 天文学 力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和 天体力学 的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年， 约瑟夫·拉格朗日 把大量时间花在 代数方程 和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了 代数 的发展。他提交给 柏林科学院 两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。
他试图寻找 五次方程 的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着 置换群 概念，对后来 尼尔斯·阿贝尔 和 埃瓦里斯特·伽罗瓦 起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般 方程 为何不能用 代数 方法求解的问题。因而也可以说 约瑟夫·拉格朗日 是 群论 的先驱。
在 数论 方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对 皮耶·德·费玛 提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个 平方数 的和的问题等等，他还证明了 圆周率 的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。
在《 复变函数 》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把 导数 运算归结为 代数运算 ，从而抛弃自 艾萨克·牛顿 以来一直令人困惑的 无穷小量 ，并想由此出发建立全部 数学分析 。但是由于他没有考虑到无穷 级数 的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用 幂级数 表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为 实变函数论 的起点。
约瑟夫·拉格朗日 也是 分析力学 的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展 让·达朗贝尔 、 莱昂哈德·欧拉 等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把 数学分析 应用于 质点 和 刚体 力学，提出了运用于 静力学 和 动力学 的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了 拉格朗日方程 ，把力学体系的 运动方程 从以力为基本概念的 艾萨克·牛顿 形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动( 约瑟夫·拉格朗日 陀螺 )的 长城欧拉 动力学 方程 的解，对 三体问题 的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对 流体 运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中，约有一半同 天体力学 有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类 天体 的 运动方程 。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了 彗星 和小行星的 摄动 问题，提出了彗星起源假说等。
近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 约瑟夫·拉格朗日 的工作。所以他在数学史上被认为是对 数学分析 的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“ 欧洲 最伟大的数学家”。
坐标
在 矢量 力学中，约束的存在体现于作用于系统的约束力。约束力引入额外 的未知量，通常使问题变得更为复杂。但若能选取适当的s个完全满足约束条件的独立坐标，则约束不再出现在问题中，只需要求解关于s个未知变量的 方程 ，使问题得以大大简化。这样的s个坐标不再局限于各 质点 的位置坐标，而可以是任何能描述系统的几何参量，因此称为“广义坐标”。
假设
格朗日力学的一个基本假设是：具有n个自由度的系统，其运动状态完全由n个广义坐标及它们的 导数 （广义速度）决定。或者说，力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述：
这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。
方程
拉格朗日力学中， 运动方程 由 个二阶 微分方程 （ 拉格朗日方程 ）给出：
其中Q为所对应的非保守的 广义力 。拉格朗日方程的地位等同于 牛顿 力学中的 牛顿第二运动定律 。但具有更普遍的意义。
概念拓展
哈密顿量 可以通过对拉格朗日量进行 阿德利昂·玛利·埃·勒让德 变换得到。 哈密顿 量是 经典力学 的另一种表述 哈密顿力学 的基础。拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的 切丛 上的函数，而哈密顿量是相对应的 余切丛 上的函数。哈密顿量在 量子力学 中到处出现（参看 哈密顿算符 (量子力学)）。
1948年， 理查德·费曼 发明了 路径积分表述 ，将 最小作用量原理 扩展到量子力学。在该表述中，粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径；特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。在经典力学的范围，路径积分表述简单的退化为 哈密顿原理 。