分析力学（analytical mechanics）一般力学的一个分支，以广义坐标为描述质点系的变数，以 牛顿运动定律 为基础，运用 数学分析 的方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力学》一书，为这门学科奠定了基础。
基本概况
分析力学是 理论力学 的一个分支，是对 经典力学 的高度数学化的表达。
经典力学最初的表达形式由 艾萨克·牛顿 给出，大量运用几何方法和 矢量 作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。 约瑟夫·拉格朗日 ， 哈密顿 ， 卡尔·雅可比 等人使用广义坐标和 变分法 ，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到 量子力学 系统和复杂 动力学 系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。
不同的系统所遵循的运动 微分方程 不同；研究大量粒子的系统需用 统计力学 ；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。
1788年 约瑟夫·拉格朗日 出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在 虚功 原理和 达朗贝尔原理 的基础上。两者结合，可得到 动力学 普遍 方程 ，从而导出分析力学各种系统的动力方程。
1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了 动力学 的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年， 哈密顿 推得用广义坐标和广义 动量 联合表示的动力学方程，称为正则方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的 变分原理 研究完整系统的力学问题。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动 方程 开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出 阿佩尔方程 为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分类
分析力学又分为 拉格朗日力学 或 哈密顿力学 。前者以拉格朗日量刻划力学系统， 运动方程 称为 拉格朗日方程 ，后者以 哈密顿 量刻划力学系统，运动方程为哈密顿正则方程。
分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如 刚体 、 弹性体 、 流体 以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。又如 太阳系 可看作自由质点系，星体间的相互作用是 万有引力 ，研究太阳系中 行星 和卫星运动的 天体力学 ，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束 方程 类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、 非完整系统 、定常系统、非定常系统等。
基本原理
有 虚功 原理和达朗伯原理。前者是分析 静力学 的基础；两者结合，可得到 动力学 普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。
研究的对象
是质点系。质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。例如 刚体 、 弹性体 、 流体 等以及它们的综合
体都可看作质点系，质点数可由 1到无穷。又如 太阳系 可看作自由质点系。研究太阳系中 行星 和卫星运动的 天体力学 同分析力学密切相关，在方法上互相促进。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束 方程 ，系统的自由度就可减少，运动 导数 方程组 的阶数随之降低，更易于求解。
主要内容
导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的 拉格朗日方程 、正则方程，非完 整系统的 阿佩尔方程 等；
研究力学的 变分原理 ，如 哈密顿原理 、 最小作用量原理 等；寻求各种力学 定理 和积分，如对应于可遗坐标的广义 动量 积分等；探讨各种动力方程的求解方法以及一切与这个目标靠近的理论，例如研究 正则变换 以求解正则方程；研究 相空间 代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。
在 量子力学 未建立以前，物理学家曾用分析力学研究 微观 现象的力学问题。从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出 哈密顿 函数，再化成 哈密顿算符 ，又自 哈密顿- 卡尔·雅可比 方程化成 波动力学 的基本方程── 薛定谔方程 等。
A. 阿尔伯特·爱因斯坦 提出 相对论 时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近 光速 的相对论力学。
发源
从十八世纪开始，在力学发展史上又出现了与 矢量 力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与 力矩 的分析。为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束 方程 间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的 动力学 方程－ 约瑟夫·拉格朗日 第一类方程。分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。上述工作均由拉格朗日(J.L. Lagrange )于1788年奠定的。以 拉格朗日方程 为基础的分析力学，称为 拉格朗日力学 。1834年 哈密顿 (Hamilton)将 拉格朗日 第二类 方程 变换成一种正则形式，将 动力学 基本原理归纳为变分形式的 哈密顿原理 ，从而建立了 哈密顿力学 。
对于一个动力学系统，尽管建立该系统的 约瑟夫·拉格朗日 第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与 矢量 动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。正是由于这个原因，在力学发展史上因 拉格朗日 第一类 方程 并不比矢量 动力学 一般方法优越，而被搁置一边。
随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。故解决动力学问题的 约瑟夫·拉格朗日 第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的 计算机 辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。
1834年， 汉密尔顿 推得用广义坐标和广义 动量 联合表示的 动力学 方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的 变分原理 研究完整系统的力学问题。
哈密顿原理
哈密顿原理 （应该就是上文的汉密尔顿原理）是分析力学中的一条公理，无法再用更基本的理论推导出，其正确性只能由其解决的问题来证明。
下面介绍完整有势系的哈密顿原理。首先定义拉格朗日函数L（lagrangian 函数 ）
再定义一个 泛函 ，称为作用量S（action）
在完整有势系中，物体真实的运动一定会使作用量S取 极值
应用
一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以 虚位移 原理和 达朗贝尔原理 为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R. 哈密顿 建立了 哈密顿原理 和正则 方程 ，把分析力学推进一步。1894年H.R. 赫兹 提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始 非完整系统 分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动 微分方程 ，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。分析力学是 经典物理学 的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于 结构分析 、机器 动力学 与振动、航天力学、多 刚体 系统和机器人动力学以及各种 工程技术 领域，也可推广应用于连续介质力学和 相对论 力学。