雅可比椭圆函数

雅可比椭圆函数，数学术语，常见于高等数学之中。

雅可比椭圆函数的定义

第一类 椭圆积分

z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)

的 反函数 是双周期的亚纯函数，记作

ω=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本周期：

ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)

ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)

sn(z)称为椭圆 正弦 ，k为模，k‘为补模。若

sin(φ)=sn(z)

则称φ为z的 振幅函数 ，记作 φ=am(z) 又定义

cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (椭圆 余弦 )

tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (椭圆正切)

dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)

上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 统称雅可比 椭圆函数 ，它们都是二阶椭圆函数。

雅可比椭圆函数的性质

特殊点的值

z0 K/2K iK'/2 K+iK'/2iK'K+iK'sn(z)0(1+k'^2)^(-1/2)1 ik^(-1/2) k^(-1/2)∞1/ kcn (z)1sqr(k'/(1+k'))0sqr((k+1)/k)-sqr((k-1)/k)∞-ik'/kdn(z)1 k'^(1/2)k' sqr(1+k) sqr(1-k)∞0

周期，零点，极点， 留数

诱导公式 表

sn(mK+niK±z)

cn(mK+niK±z)

dn(mK+niK±z)

基本关系

sn(z)^2+cn(z)^2=1

dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1

dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2

am(-z)=-am(z)

sn(-z)=-sn(z)

cn(-z)=cn(z)

tn(-z)=-tn(z)

dn(-z)=-dn(z)

由此可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（ 三角函数 ）相似。

转换关系

加法 公式

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倍数 公式

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半数公式

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乘法公式

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导数 公式

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积分公式

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