椭圆函数，是双周期的亚纯函数。最初是从求椭圆 弧长 时引导出来的，是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。N.H. 鲁道夫·阿贝尔 、C.G.J. 卡尔·雅可比 和K. 卡尔·魏尔施特拉斯 等人对此都有卓越的贡献。
正文
一个函数 ƒ ( z )，如果存在着 常数 T ≠0（可以是 复数 ），使对一切 z 均有
ƒ ( z + T )= ƒ ( z ) (1)
则称 ƒ ( z )为周期函数, T 为其周期。可使周期 T 满足式(1)且有最小的模。
如果一函数 ƒ ( z )有两个周期2 ω ，2 ω ┡，且 （以下恒设其>0），则称 ƒ ( z )为双周期函数。一般说来， ƒ ( z )在 z = z 0附近的性态与在 附近的性态相同,m, n 为任何整数; z 0+ 称作 z 0的(周期)合同点。因此，研究 ƒ ( z )例如可只限于 z 在以0,2 ω 1=2 ω ,2 ω 2=2( ω + ω ┡),2 ω 3=2 ω ┡为顶点的 平行四边形 p 中变动。这个平行 四边形 称为 ƒ ( z )的基本周期四边形或基本胞腔（见图 ）。
只有极点的双周期 解析函数 ƒ ( z )就是椭圆函数。不妨假设在 p 的周界上没有 ƒ ( z )的 零点 和极点，因为否则只要对复坐标 z 作适当平移变换便可达到目的。
由刘维尔定理知，双周期解析函数 ƒ ( z )如果没有 奇点 则必为 常数 。又由 留数定理 易证， ƒ ( z )在 p 中也不可能只有一个单极点。且可证明， ƒ ( z )在 p 中取任何值的点的个数包括极点的个数（重数也计入个数内）均相同。椭圆函数在 p 中极点的个数称作它的阶数。因此,（非常数的）椭圆函数至少是二阶的。
ξ 函数与P函数 定义
(2)
式中∑┡表示对一切整数m, n 求和，但m= n =0除外。 ξ ( z )是一亚纯函数，以 为单极点(m, n =0，±1，±2,…)，且主部为 。它不是周期函数，但满足下列关系：
(3)
式中 ηj = ξ ( ωj )为三个 常数 ，它们之间有如下关系：
由式(3)可见
已是一个二阶椭圆函数，以 为二阶极点，并以 为其主部。
任何椭圆函数均可通过 P( z )及其各阶导函数表出。
函数P( z )满足 微分方程
式中 。P函数还有所谓加法公式
σ 函数 为了得到椭圆函数的一种方便的表示法，引进 σ 函数。
,
式中∏┡表示对一切整数m, n 求积，但m= n =0除外。 σ ( z )是以 为单 零点 的整函数，它不是双周期的，但满足下列关系：
易证
任何 n 阶椭圆函数 ƒ ( z )，如分别以α1,α2,…,αn和 β 1, β 2,…, β n为其零点和极点（计入重数），则总可使得 ，这时它可表为
式中 C 为一 常数 。如记
,
则可证
式中 ，且根式已适当选定一支。
θ 函数 在实际应用中，作变换 ，可使椭圆函数 ƒ ( z )变成另一椭圆函数 φ (υ)，后者的一个周期为1，另一周期为 。引进 θ 函数
式中 q = 。 θ (υ)不是椭圆函数，但有
由 θ (υ)还可引进 函数如下：
这些函数都不是椭圆函数，但有
任何以2 ω ,2 ω ┡为周期的椭圆函数 ƒ ( z )，可通过 θ 函数表出：
如前式中αr, β r( r ＝1,…, n )为 ƒ ( z )的 零点 与极点。
P( z )与 k(υ)间有如下确定的关系：
式中 。
k 函数间也有加法公式等。
雅可比椭圆函数 令 ( 根号 取定一值)，定义雅可比椭圆函数如下：
它们都是 u 的二阶椭圆函数。sn u 以 4 K 与2i K ┡为周期,cn u 以4 K 与2 K +2i K ┡为周期,dn u 以2 K 与4i K ┡为周期，式中 。它们和 三角函数 有某些相似之处。例如，有
,
等等。由这些公式，可得
，
这里根式应选取 u ＝0时取值 ＋1的一支，由此可以得出
(4)
右边这类含有四次根式的积分正是求椭圆的 弧长 时会遇到的那种类型，它们统称为 椭圆积分 。由式(4)可见， u 作为 z 的函数时，其 反函数 正好是椭圆函数sn u 。椭圆函数名称来源于此。
自守函数 椭圆函数 ƒ ( z )具有这样一个特点：当 z 经过平移变换
后函数值不变。变换 T ， T ┡生成一群 G , ƒ ( z )的变量 z 经 G 中任何变换后 ƒ ( z )保持不变。
一般说来，设 G =｛ T ｝为分式线性变换构成的群(但不是单位群，即不是由恒等变换一个元构成的群)，又设 ƒ ( z )为某区域 D 中的亚纯函数，群 G 中的任何元 T 把 D 变成自身。且使
,
则称 ƒ ( z )为区域 D 中关于群 G 的自守函数。椭圆函数就是全平面中关于群 整数}的自守函数。
自守函数理论是由H. 亨利·庞加莱 与F. 菲利克斯·克莱因 等人在19世纪80年代建立起来的，它对复变函数论的许多分支以及 微分方程 都有重要影响。