几何 布朗运动 （GBM）（也叫做指数布朗运动）是连续时间情况下的 随机过程 ，其中 随机变量 的 对数 遵循布朗运动。几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。
专业定义
随机过程St在满足以下随机微分方程（SDE）的情况下被认为遵循几何布朗运动：
dSt=μStdt+σStdWt
这里Wt是一个 维纳 过程，或者说是布朗运动，而μ（'漂移百分比'）和σ（'波动百分比'）则是常量。
运动特性
给定初始值 S ，根据伊藤积分，上面的SDE（【数】随机 导数 方程式）
有如下解：
St=S0exp（（μ−σ2/2）t+σWt），
对于任意值t，这是一个对数正态分布 随机变量 ，其 期望值 和 方差 分别是
E（St）=S0eμt，
Var（St）=S20e2μt（eσ2t−1），
也就是说 S 的概率密度函数是：
fSt（s;μ，σ，t）=12π−−√1sσt√exp⎛⎝⎜⎜−（lns−lnS0−（μ−12σ2）t）22σ2t⎞⎠⎟⎟。
根据伊藤引理，这个解是正确的。
比如，考虑 随机过程 log（ S ）。这是一个有趣的过程，因为在布莱克-舒尔斯模型中这和股票价格的 对数 回报率相关。对 f （ S ）=log（ S ）应用伊藤引理，得到
dlog（S）=f′（S）dS+12f′′（S） S2 σ2dt=1S（σSdWt+μSdt）−12σ2dt=σdWt+（μ−σ2/2）dt。
于是Elog（St）=log（S0）+（μ−σ2/2）t。
这个结果还有另一种方法获得：applyingthelogarithmtotheexplicitsolutionofGBM：
log（St）=log（S0exp（（μ−σ22）t+σWt））=log（S0）+（μ−σ22）t+σWt。
取 期望值 ，获得和上面同样的结果：Elog（St）=log（S0）+（μ−σ2/2）t。
运动应用
在金融中
主条目： 布莱克-舒尔斯模型
几何布朗运动在布莱克-舒尔斯定价模型被用来定性股票价格，因而也是最常用的描述股票价格的模型。
使用几何布朗运动来描述股票价格的理由：
• 几何布朗运动的期望与 随机过程 的价格（股票价格）是独立的，这与对现实市场的期望是相符的。
• 几何布朗运动过程只考虑为正值的价格，就像真实的股票价格。
• 几何布朗运动过程与在 股票市场 观察到的价格轨迹呈现了同样的“roughness”。
• 几何布朗运动过程计算相对简单。
然而，几何布朗运动并不完全现实，尤其存在一下缺陷：
• 在真实股票价格中波动随时间变化（possiblystochastically），但是在几何布朗运动中，波动是不随时间变化的。
• 在真实股票价格中，收益通常不服从正态分布（真实股票收益具有更高的 峰度 和厚尾（'fattertails'），代表了有可能形成更大的价格波动）。