巴拿赫空间

巴拿赫空间是一种赋有“长度”的 向量空间 ，泛函分析研究的基本对象之一。

正文

一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。 数学分析 各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从K.（T.W.） 卡尔·魏尔施特拉斯 以来，人们久已十分关心闭区间【α,b】上的 连续函数 以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族连续函数之列 紧性 的判断准则，后来十分成功地用于 常微分方程 和复变函数论中。1909年F.（F.） 里斯 给出 C 【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是 分析学 历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0,1】上 p 次可 亨利·勒贝格 求和的函数构成的 Lp 空间(1< p <∞)。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把 弗雷德霍姆 积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，S. 斯特凡·巴拿赫 与N. 诺伯特·维纳 相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。

定义 　对于实(或复)数域 K 上的 向量空间 X ，若有从 X 到 R 的函数‖ x ‖使得：①‖ x ‖≥0,‖ x ‖=0必须且只须 x =0,②对α ∈ K ,有‖α x ‖=α‖ x ‖,③‖ x + y ‖≤‖ x ‖+‖ y ‖,则称 X 为线性赋范空间，而称‖ x ‖为范数。

显然，范数这概念是 R n 中 向量 长度概念的推广。如同 有理数 系可完备化为 实数 系，任何线性赋范空间也可按照距离d( x ,y)=‖ x -y‖作为度量空间而完备化。

完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。例如，设 Ω 为紧豪斯多夫空间，令 C ( Ω )表示 Ω 上一切实(或复)值 连续函数 的全体，则 C ( Ω )关于范数 成为一个巴拿赫空间。再如，设( Ω , μ )是正测度空间，令 Lp ( Ω ， μ )表示 Ω 上一切 p （ p ≥1）次可求和函数的全体，则 Lp ( Ω , μ )关于范数 成为一个巴拿赫空间。特别取 Ω ={1,2,3,…}, μ ( n )＝1(当 n ＝1、2、3、…)则相应的 Lp ( Ω , μ )成为满足条件 的数列 的全体，而相应的范数为 。一般记这个特殊的 Lp （ Ω , μ ）为 lp 。还如，设( Ω , β ， μ )是正测度空间，对 Ω 上可测的函数 ƒ ( t ),如果有正数α，使于 Ω 几乎处处有│ ƒ ｜( t )｜≤α，则称 ƒ ( t )为本性有界的函数，而记上述诸α之下确界为 。令 L ∞( Ω )表示 Ω 上之本性 有界函数 的全体，则 L ∞( Ω )关于范数 成为一个巴拿赫空间。特别对 Ω ={1,2,3,…}而 μ ( n )=1( n =1,2,3,…)则相应的 L ∞( Ω )即有界数列 的全体，而相应的范数为 。一般记这个特殊的 L ∞( Ω )为 m 。

若 ,则称 强收敛于 x ,简写作 。

基 　作为完全就范直交函数系的推广，设 是巴拿赫空间 X 中的序列，如果对每个 x ∈ X 都恰有一数列 ，使 ，则称 为 X 的基，而称 X 为有基的空间。凡有基的空间一定是可分的，对于许多可分空间，人们具体地构造出它们的基。但是，是否每个可分的巴拿赫空间都有基的问题，直到1973年才由P.恩夫洛举出反例。确有可分而没有基的巴拿赫空间。

对偶空间  设 ƒ ( x )是从实(或复)域 ƒ 上赋范 向量空间 X 到 ƒ 上的线性函数。若 ƒ ( x )还是连续的，则称 ƒ ( x )为连续线性泛函。一切如此的 ƒ ( x )按范数 构成的巴拿赫空间，便称为 X 的对偶空间(或 共轭 空间)并记作 X *（或 X ┡）。

在许多数学分支中都会遇到对偶空间，例如矩量问题、 偏微分方程 理论等。一些物理系统的状态也常与适当空间上的线性泛函联系在一起。至于泛函分析本身，对偶空间也是极为重要的概念。通过 X *,能更好地理解 X 。

里斯表现定理 　设 Ω 是紧豪斯多夫空间，则于复的 C ( Ω )上的连续线性泛函 ƒ ( x )，便恰有 Ω 上的一个复正则 波莱尔 测度 μ 使

(1)

并且‖ ƒ ‖= μ 在 Ω 上的全变差 | μ |。许多人把这结果称作里斯表现定理。它是发展近代算子谱论的重要工具，还有着其他多方面的应用。这 定理 也可推广至局部紧豪斯多夫空间。许多测度来源于此定理。

设 Ω 上所有复的正则波莱尔测度为 m ( Ω )，对每个 μ ∈ m ( Ω )，由(1)式定义的 ƒ ( x )是 C ( Ω )上的连续线性泛函，定义‖ μ ‖＝全变差| μ |,则 C ( Ω )*保范 同构 于 m ( Ω )。

例如，于正 测度 μ ,有 Lp ( Ω , μ )(1< p <∞)上每个连续线性泛函 ƒ ( x )皆可表为

(2)

式中 z ( t )∈ L q( Ω , μ ),而 ,并且 。另一方面，由(2)式右端定义的泛函在【 Lp ( Ω , μ )】*中，总之【 Lp ( Ω , μ )】*保范同构于 L q( Ω , μ )。

再如，于δ-有限的正测度 μ ,有 L 1( Ω ， μ )上的连续线性泛函 ƒ ( x )可表为

(3)

式中 z ( t )∈ L ∞( Ω , μ ),并且 另一方面，由(3)定义的泛函在【 L 1( Ω )】*中。总之,【 L 1( Ω , μ )】*保范 同构 于 L ∞( Ω , μ )。

由于古典分析发展的要求，也因为巴拿赫空间理论本身的需要，于是人们研究 X 与 X *之间的关系，这便是对偶理论。这理论的主要工具是哈恩－巴拿赫扩张 定理 ：设 M 是线性赋范空间 X 的闭线性子空间，则①对 M 上的连续线性泛函 g ( x ),恒有 ƒ ( x )∈ X *使 ƒ ( x )= g ( x ),当 x ∈ M ,又‖ ƒ ‖=‖g‖( );②对 X 中任给的 x 0≠0，恒有 ƒ ( x )∈ X * 使 ƒ ( x 0)=‖ x 0‖,‖ ƒ ‖=1，③对任意 ，恒有 ƒ ( x )∈ X *当 x ∈ M 使得 ƒ ( x )=0， ƒ ( x 0)=1,并且‖ ƒ ‖=1/ d ，这里 。

设 ƒ ( x )∈ X *,一般称点集 H ={ x ∈ X ; ƒ ( x )＝ 常数 C }为 X 中的闭超平面。设 M 是 X 的子空间, x 0∈ X ,则称点集 x 0+ M 为 X 中的线性簇。这样，哈恩－巴拿赫定理便有如下的几何解释：若 X 中的线性簇 m 与非空的开 凸集 K 不相交，则有闭超平面 H 使 而 。

自反空间 　对巴拿赫空间 X 有对偶空间 X *，而 X *的对偶空间则记作 X **,任给 x 0∈ X ,通过 （当 x *∈ X *）便确定一个 ，并且 。这表明存在映射τ把 X 保范地嵌入到 X **中。一般 X **。如果τ( X )＝ X **，则称 X 为自反空间。典型的自反空间是 Lp 【0,1】(1< p <∞),但 L 1【0,1】与 C 【0,1】都不自反。

弱收敛 　无穷维巴拿赫空间的单位球是不可能按范数拓扑为紧的，因此许多有限 维空间 的命题都不能推广到一般巴拿赫空间。针对这一点，人们引进弱收敛的概念。对 X 中 与 x 0，若于任何 x *∈ X *都有 ，则称 弱收敛于 x 0，记作 。

埃伯莱因－什穆利扬 定理  　 巴拿赫空间 X 是自反的；必须且只须 X 中任何按范数有界的点列都含有弱收敛的子序列。

利用自反空间的这个拓扑性质，便能证明如下的结果：设 J ( x )是自反空间 X 之有界凸闭集 C 上弱下半连续的有界泛函，则 J ( x )在 C 上达到最小值。

应该指出，正是为着使得一些重要的命题得以成立，人们才引进种种类型的巴拿赫空间，自反空间就是一个鲜明的例子。再如与上述 极值 问题的惟一性有关，有所谓球状空间；与拉东-尼科迪姆定理相关，则有一致凸空间等等。

人们曾经长久地停留在序列弱收敛上。其实即使对于 l 2上的弱拓扑，只用序列弱收敛也是不行的。J.冯·诺伊曼首先看到这一点，并且在1930年就使用弱邻域概念。

X 上使得一切 x *∈ X * 都连续的最弱的拓扑称为 X 上的弱拓扑。全体 ，其中 ,ε>0， n =1，2,…构成 X 在O点的一个弱邻域基。

X *上使得一切 , x ∈ X 都连续的最弱的拓扑称为 X *上的弱*拓扑。全体

,

其中 ,ε>0， n =1，2，…构成 X *在O点的一个弱*邻域基。

线性算子  设 T 是从实（或复）域 F 上的 向量空间 X 中线性 流形 M 到 F 上的线性空间 Y 的映射，如果

则称 T 是线性算子, M 为 T 的定义域，记作 D ( T )。特别当 M = X 而 Y 为数域 F 时， T 便称为 X 上的线性泛函。

设 X 、 Y 都是赋范线性空间, x 0∈ D ( T )，若对 D ( T )中任何收敛于 x 0的序列 都有 T xn → T x 0，则称 T 在 x 0处连续。设 D ( T )= X , 则线性算子 T 在 X 上每点都连续必须且只须 T 是有界的, 即 。这时还称 为 T 的范数，记作‖ T ‖。

设 X 与 Y 都是数域 F 上的 向量空间 , A 与 B 都是从 X 到 Y 的线性算子，对 A 与 B 可定义如下的运算:( A + B ) x = Ax + Bx ，(α A ) x =α( Ax ),当 x ∈ X ,α∈ F 又定义( AB ) x = A ( Bx ), x ∈ X ，当 A 与 B 都是从 X 到 X 的线性算子时。若线性算子 T 是 单射 的，则将它的逆映射记作 T -1，而I x = x 则称为单位算子或恒等算子。

设 H 为度量空间， ，对 x 0 ∈ E , 若有小球 ，则称 x 0在 E 的内部。若点集 S 的闭包埅之内部是空的，则称 S 在 H 中无处稠密。若度量空间 H 中的点集 ，而每个 S n 皆在 H 中无处稠密，则称 E 为 H 中第一纲的点集。 H 中非第一纲的点集叫做第二纲的。显然全体 有理数 在实轴上便是第一纲的。可以这样想：第一纲的点集是比较稀疏的。

贝尔纲定理  　完备的度量空间必定是第二纲的。这是区间套 定理 的发展和提高，在证明许多存在定理时是很有用处的。在 亨利·勒贝格 关于奇异积分与O.特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之后， 斯特凡·巴拿赫 与H.斯坦豪斯在1927年给出共鸣定理。

共鸣定理 　 又称一致有界原理。设 X 是巴拿赫空间， Y 是线性赋范空间, 是一族从 X 到 Y 的有界线性算子。如果 当 x ∈ X ，则 。这是有着多方面应用的重要 定理 ，是纲定理的直接推论。和纲推理密切相关，还有极著名的开映射定理。

开映射定理 　设 X 与 Y 都是巴拿赫空间，若 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子，且 TX = Y ,则 T 变 X 的开集为 Y 中的开集。这在有限 维空间 是平凡的，但在无限维空间却是极为深刻有力的工具。它有下列重要推论。

巴拿赫逆算子定理　设 X 与 Y 都是巴拿赫空间，若 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子，且 T 是一对一的，又 TX = Y ，则 T -1连续。

开映射定理还有一个关于闭算子的重要推论。设y= T x 是线性的，若从

恒有 x 0∈ D ( T )且 ,则称 T 为闭算子。闭算子在应用上是非常重要的概念。表面上，闭性与连续性很相似，其实差异不小，因为连续性是从较少的假设 x n→ x 0到更多的结论 且 。一般称 X × Y 中之 G ( T )={< x , T x >； x ∈ D ( T )}为 T 的图像。易见 T 是闭算子，则 G ( T )按范数‖< x , y >‖=‖ x ‖+‖ y ‖是闭的点集。

闭图像定理  　 设 X 与 Y 都是巴拿赫空间，若 T 是从 X 到 Y 的线性算子，则 T 是有界的必须且只须 G ( T )是闭的。

共轭 算子 　设 X 与 Y 都是巴拿赫空间。若线性算子 T 的定义域 D ( T )在 X 中稠密，而 T 的值都在 Y 中，如果对 有 x *∈ X *使当 x ∈ D ( T )时， y *( T x )= x *( x )则 x *由 y *惟一确定，记作 T ┡ y *= x *,一般称 T ┡为 T 的共轭算子或对偶算子。特别当 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子时，则 T ┡也是有界的，且‖ T ┡‖=‖ T ‖。显然，共轭算子是 转置矩阵 的推广，所以它自然地在研究 方程 T x = y 时起着重要的作用。

设 A 为巴拿赫空间 X 上的线性算子，称 N ( A )={ x ; Ax =0}为 A 的零空间, R ( A )={ y ; y = Ax , x ∈ D ( A )}为 A 的 值域 。从 线性方程组 的解，已经看到 A 与 A ┡之值域与零空间的密切关系，后来在 弗雷德霍姆 理论中又再次看到这点。

对点集 ，所谓 M 在 X *中的零化子即

而于点集 ，则 G 在 X 中之零化子即

。

设 A 为巴拿赫空间上有界线性算子，则

,

,

,

。

若又设 X 自反，则

。

闭 值域 定理  　设 X 与 Y 是巴拿赫空间，而 T 是从 X 到 Y 的闭线性算子，且 ，则下列命题等价：

① R ( T )在 Y 中是闭的，

② R ( T ┡)在 X *中是闭的，

③

④ 。

参考书目

S.Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Monografje Mathematyczne , Warsaw , 1932.

N.Dunford and J.T. SCHWARTZ ,Linear Operators, Part 1.General Theory, Inter science, New York, 1958.

A.E. Taylor and D.C.Lay,Introduction to functional Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1979.