反函数 定理给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。该 定理 还说明了反函数的全 导数 存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在 流形 上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。
定义
设M与N为n为光滑流形，U为M的开集， 为光滑映射。若f在 有极大阶，则存在p的邻域V，使得限制 为微分同胚。
大致地说，C1函数F在点p可逆，如果它的 雅可比矩阵 JF(p)是可逆的。
更加精确地，该定理说明如果从 的一个开集U到 的连续可微函数F的全 导数 在点p可逆（也就是说，F在点p的雅可比 行列式 不为零），那么F在点p的附近具有 反函数 。也就是说，在F(p)的某个邻域内，F的反函数存在。而且，反函数 也是连续可微的。在无穷维的情况中，需要弗雷歇导数在p附近具有有界的反函数。
最后， 定理 说明：
其中表示逆矩阵，而JG(q)是函数G在点q的 雅可比矩阵 。
这个公式还可以从链式法则推出。链式法则说明，如果G和H是两个函数，分别在H(p)和p具有全 导数 ，那么：
设G为F，H为 ， 就是恒等函数，其雅可比矩阵也是单位矩阵。在这个特殊的情况中，上面的公式可以对 求解。注意链式法则假设了函数H的全导数存在，而反函数定理则证明了 在点p具有全导数。
F的 反函数 存在，等于是说方程组 可以对 求解，如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。
考虑从 到 的向量值函数，定义为：
那么 雅可比矩阵 为：
其 行列式 为：
行列式 处处不为零。根据 反函数 定理，对于 中的每一个非零点p，都存在p的一个邻域，在这个邻域内F具有反函数。
方法和证明
作为一个重要的结果，反函数定理已经有许多证明。在 教科书 中最常见的证明依靠了压缩映射原理，又称为 巴拿赫不动点定理 。（这个 定理 还可以用于证明 常微分方程 的存在性和唯一性）。由于这个定理在无穷维（巴拿赫空间）的情形也适用，因此它可以用来证明反函数定理的无穷维形式（参见下面的“推广”）。
另外一个证明（只在有限维有效）用到了紧集上的函数的 极值定理 。
还有一个证明用到了牛顿法，它的好处是提供了定理的一个有效的形式。也就是说，给定函数的 导数 的特定界限，就可以估计函数可逆的邻域的大小。
推广
流形
反函数定理可以推广到可微 流形 之间的可微映射。在这个情形中， 定理 说明对于可微映射F:M→N，如果F的导数 在M内的某个点p是线性 同构 ，那么存在p的一个开邻域U，使得： 是微分同胚。注意这意味着M和N的维数必须相同。
如果F的导数在M内的所有点p都是同构，那么映射F就是局部微分同胚。
巴拿赫空间
反函数定理还可以推广到巴拿赫空间之间的可微映射。设X和Y为巴拿赫空间，U是X内的原点的一个开邻域。设 连续可微，并假设F在点0的 导数 是从X到Y的有界线性同构。那么在Y内存在F(0)的一个开邻域V，以及一个连续可微的映射 ，使得对于V内的所有y，都有 。而且，G(y)是 方程 的唯一足够小的解x。
在函数是X和Y之间的 双射 的简单情况中，函数具有连续的 反函数 。这可以从开映射 定理 立即推出。
巴拿赫流形
在 斯特凡·巴拿赫 流形 的反函数定理中，可以把上面的两个推广结合起来。
常秩定理
反函数定理（以及 隐函数 定理）可以视为常秩定理的特殊情况，它说明在某个点局部常秩的光滑映射可以化为该点附近的特定的正规形式。当F的 导数 在点p可逆时，它在p的邻域也可逆，因此导数的秩是 常数 ，故可以使用常秩定理。