在 向量分析 中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵， 英语 ：Jacobian matrix）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。当其为方形矩阵时，其 行列式 称为 卡尔·雅可比 行列式（Jacobi determinant）。雅可比矩阵的重要性在于，如果函数 f : ℝn → ℝm 在点 x 可微的话，在点 x 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也代表雅可比矩阵是单变数 实数 函数的 导数 在 向量 值多变数函数的推广。在 代数几何 中， 代数曲线 的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。它们全部都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。
基本定义
假设某函数从 f : ℝn → ℝm，从 x ∈ ℝn 映射 到向量 f(x) ∈ ℝm，其雅可比矩阵是一 m×n 的矩阵，也就是从 ℝn 到 ℝm 的线性映射，表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。雅可比矩阵的第 i 行是由函数 f_i 的 梯度 函数所表示的，1 ≤ i ≤ m。如果 p 是 ℝn 中的一点，f 在 p 点可 导数 ，根据 数学分析 ，J_f(p) 是在这点的导数。在此情况下，J_f(p) 这个线性映射即 f 在点 p 附近的最优线性逼近，也就是说当 x 足够靠近点 p 时，我们有 f(x) ≈ f(p) + J_f(p) ⋅ (x - p)。
在向量微积分中， 卡尔·雅可比 矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其 行列式 称为雅可比行列式。
还有，在 代数几何 中， 代数曲线 的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个群簇，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。
雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微 方程 与给出点的最优线性 逼近 。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的 导数 。
下：
MATLAB
MATLAB 中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
matlab
SYMS r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
结果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
面积元
关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的 成立
证明：对于 曲面 ,取它的微元，即小曲边 四边形 ABCD，其中
,那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小 向量 和 张成的。利用中值定理可知：
这里的M，N是 偏导数 的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。
当变化量很小时，我们把 近似看成 ， 看成 ，所以，
而其中的M*N刚好就是二维 Jacobi 行列式 的展开形式。
由此问题得证。
动力系统
考虑形为 x' = F(x) 的 动力系统 ，F: ℝ^n → ℝ^n。如果 F(x_0) = 0，那么 x_0 是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 J_F(x_0) 的特征值相关。
雅可比行列式
如果 m = n，那么 F 是从 ℝn 映射 到 ℝn 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数 F 在 p 点的雅可比 行列式 不等于零，那么它在该点附近有 F 的 反函数 。这称为 反函数定理 。更进一步，如果 p 点的雅可比行列式是 正数 ，则 F 在 p 点保持定向；如果是 负数 ，则 F 逆转定向。而从 卡尔·雅可比 行列式的 绝对值 ，就可以知道函数 F 在 p 点附近是放大或缩小体积；这就是它出现在 换元积分法 中的原因。
逆矩阵
根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的 逆矩阵 即为该函数的反函数的雅可比矩阵。即，若函数 F: ℝ^n → ℝ^n 在点 p ∈ ℝ^n 的雅可比矩阵是连续且可逆的，则 F 在点 p 的某一 邻域 内也是可逆的，且有 J_F^(-1) ∘ f = J_F^(-1) 成立。相反，倘若 卡尔·雅可比 行列式 在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在 反函数 ）。一个 多项式 函数的可逆性与未经证明的 雅可比猜想 有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零 实数 （相当于其不存在复 零点 ），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。