雅可比猜想

雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多变量 多项式 的一个著名问题，最初是由数学家Ott-Heinrich Keller于1939年提出，之后Shreeram Abhyankar取现名，并将之广为传播，以作为 代数几何 的问题中，只需稍多于微积分的知识就能阐述的一个例子。雅可比猜想之所以闻名，因为有很多试图解决猜想的证明，都有藏于细节中的错误。这猜想直至2019年仍未得到正确证明。2026年7月20日，数学家Levent Alpoge在社交媒体表示，在AI模型Fable 5的协助下，他构造出了雅可比猜想（Jacobian Conjecture）的一个反例。若这一结果最终通过同行评审，这一自1939年以来始终悬而未决的猜想被正式推翻，并可能波及多个相关数学猜想。

雅可比行列式

令 为固定的整数，考虑 多项式 ，变量为 ，系数在特征为零的 代数闭域 k中。（可假设k为 复数 域）也就是说 。定义函数 为

函数F的 雅可比 行列式 是由F的 偏导数 组成的n×n矩阵的行列式

也是变量为 X 的 多项式 函数。

叙述

多元微积分 的 反函数定理 指出如在某一点有 ≠ 0，那么在该点附近F有 反函数 。由于k是 代数闭域 ，是多项式，因此 必定在某些点上为0，除非 是非零的常数函数。以下是一项基本结果：

若F有 反函数 ，则 是非零的常数函数。

而其反命题则为雅可比猜想：

令k为一特征为零的代数闭域。若

1、

2、 是非零常数函数，（等价于以下条件：对于所有的 皆是可逆的线性变换）则F有 反函数 ，且此反函数亦属于k[X]。