配对公理（axiom of pairing）亦称无序对公理，是集合论的一条重要公理。配对公理内容为，对任意集合a与b，存在只含a与b的集合{a，b}。
1874-1897年， 格奥尔格·康托尔 （G.Cantor）发表了一系列论文，他以“朴素的”观点来看待集合的，但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。 后来， 罗素悖论 暴露了集合论自身的矛盾，造成了数学发展史上的所谓第三次大危机。为了避免 悖论 ，解决集合论自身的基础问题，20世纪初开始了公理学研究方向。 1908年， 德国 数学家恩斯特·弗里德里希·费狄南·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo） 提出了基本集合公理，1930年，他改进了该公理，形成了现在说的配对公理。后来，他陆续提出了其他公理，形成了应用广泛的Zemelo-Freankel 公理系统 ，简称ZF公理系统， 该系统推动了现代数学的发展，被美国学者给予了很高的评价。
ZF公理系统还有很多其他公理，它们不是独立存在的，配对公理可以由替换公理推出。 配对公理可定义有序对、无序对的概念，且关于配对公理，有一些有趣的事情， 恩斯特·策梅洛 得到了自然数的模型，后经改进，得到了今天使用的自然数构造系统。
定义
配对公理亦称无序对公理，集合论的一条重要公理。该公理断言：对任意集合 与 ，存在只含 与 的集合 。这条公理可形式化为：
。
令 是定域中的任意对象。配对公理蕴含存在外延 ，它仅有的元素是 。如果没有性质是好的，那么只存在一个外延，即坏事物 。所以 。但我们有 ，由此 。所以， 。由于 是任意的，如果没有性质是好的，那么配对 定理 蕴含 是论域中仅有的对象。
简史
背景
1874-1897年， 格奥尔格·康托尔 （G.Cantor）发表了一系列论文，奠定了集合论的基础，从此集合论的概念和结果被广泛应用于数学的各个分支。在集合论创立的初期，康托尔是以所谓“朴素的”观点来看待集合的，没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。 1903年， 伯特兰·阿瑟·威廉·罗素 （Bertrand Russell）在《 数学原理 》一书中提出了一个悖论，可以通过理发师的例子进行通俗的解释。 罗素悖论暴露了集合论自身的矛盾，使数学的基础发生动摇，造成了数学发展史上的所谓第三次大危机。为了避免悖论，解决集合论自身的基础问题，20世纪初开始了集合论公理学的研究方向。
提出
1908年， 德国 数学家 恩斯特·策梅洛 （E-Zermelo） 提出了基本集合公理，1930年，他改进了该公理，形成了现在说的配对公理。后来，他陆续提出了其他公理，形成了应用广泛的Zemelo-Freankel 公理系统 ，简称ZF公理系统。
衍生概念
无序对
恰好有两个元素的集合，并且这两个元素之间没有一定的顺序，叫做无序对集合。
设有集 ， ，取集 使 。由 和 形成的无序对，用 表示，指集：
。
由定义知，无序对 以 和 为仅有的成员：
。
当 时，记 ，叫做由集 形成的独元集。在无序对 中， 和 的地位是平等的： 。 比如 就是一个无序对集合，对于 ，还可以写作 ，就有 。
有序对
以集 为先，集 为后的有序对，用 表示，指集：
。
可知，有序对的两个坐标 都是唯一确定的，所以可得 定理 ：
当且仅当 且 。
其他公理
1908年， 恩斯特·策梅洛 （E-Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统，后经斯柯伦（Skolem）、弗兰克尔（Frankel）等人的改进，形成了著名的ZF公理系统。ZF系统的展开是形式化的，它是以带等词“ ”和隶属关系“ ”的狭谓词演算为基础，加上关于集合基本性质的非逻辑公理组成的形式演绎体系。它的非逻辑公理有： 外延公理 、空集公理、配对公理、 并集公理 、 幂集公理 、 子集 公理、无穷公理、替换公理、正则公理，如果加上 选择公理 AC时，得到的系统就是ZFC(ZF+AC)。 ZFC系统中的公理不是各自独立的——其中配对公理可由替换公理推出。 ZF 公理系统 推动了集合论的发展，也推动了整个现代数学的发展。 加利福尼亚州 大学的S·K·Stein教授这样评价：“这些公理的威力非常之大，所有普通的数学都能够从Zemelo-Freankel公理演绎出来。”
存在公理
存在一个没有元素的集合。
形式表示： 。
外延公理
如果 的每个元素都是 的一个元素，并且 的每个元素也是 的一个元素，那么 。
形式表示： 。
基础公理
基础公里也叫正则公里，所有的集合都是良基的。
形式表示： 。
概括公理模式
令 是 的一个性质。对任意的集合 ，存在一个集合 ，使得 当且仅当 并且 。
形式表示： 。
幂集公理
对任意的集合 ，存在一个集合 ，使得 当且仅当 。
形式表示： 。
并集公理
对任意的集合 ，存在一个集合 ，使得 当且仅当对某个 ， 。
形式表示： 。
无穷公理
存在一个归纳集。
形式表示： 。
替换公理模式
令 是一条性质，并且对每个 存在唯一的 使得 成立。对每个集合 ，存在一个集合 ，使得对每个 ，存在 使 成立。
形式表示： 。
选择公理
对于每个集合系统都有一个选择函数。
形式表示： 。
其中： 可表述为： 。
轶闻趣事
关于配对公理，有一些有趣的事情。首先，构造自然数的模型，如对于 ， 恩斯特·策梅洛 取了空集；对于 ，他取 ；对于 ，他取了 （集合 ）；对于 ，他取了 （集合 ），依此类推。因此，对于每个 自然数 ，数字 是单元集 。因此， 由括在 对括号中的 表示。
后来，约翰· 约翰·冯·诺依曼 （John Von Neumann）修改了 恩斯特·策梅洛 对自然数的构造，提出了今天所使用的系统，冯·诺依曼以这样的方式定义自然数，即每个自然数都是所有更小的自然数的集合。因此， 是空集， 是集合 （与策梅洛一样），但 是集合 （其仅有的元素是 和 ）， 是集合 ，…， 是集合 。且 约翰·冯·诺依曼 对 自然数 的定义很容易扩展到无穷 序数 的定义，在集合论中起着关键作用。