渐近展开被定义为一个函数 级数 （通常是 奥古斯丁-路易·柯西 发散的），该级数的每一个部分和都给出该函数的一个渐近表达式。
定义
定义一
渐近展开是函数的级数展开的推广。设 是 时的渐近序列，如果对每一个 自然数 N有
其中 是 常数 ，则称
是f(z)的渐近展开式，并记为
当渐近序列指定的条件下，一个函数的渐近展开式是唯一i确定的，它的展开系数 按如下公式来求得：
定义二
设P为 R 的 子集 ， 为接触于P的 的点，ξ为 之 邻域 上的比较尺度，ψ为ξ的元素，而f为定义在P上、在 赋范向量空间 F中取值的 映射 ．则至多存在一个具有限支集的F的元素族
使，
对于ψ来说是可忽略的；映射
叫做f以Ψ为精确度的渐近展开 。
与一般级数展开的区别
粗略来说，渐近级数与一般的级数展开（例如 泰勒级数 ）的区别在于，渐近级数是z越接近z，部分和越接近被展开的函数，而泰勒级数等则是z点固定，取的项数越多结果越接近被展开的函数。
另外一个重要的区别是，渐近展开常常需要对宗量有额外的限制，例如 辐角 的限制。
除此之外，一个函数在一点的泰勒展开表达式确定了以该点为中心的收敛圆内函数的形式，而渐近级数则不然，详见下一小节的讨论。
拉普拉斯积分的渐近展开
构造拉普拉斯积分的渐近展开的 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 方法。这个方法是拉普拉斯在研究 概率论 的极限理论时发现的，它是后来由 伯恩哈德·黎曼 发展起来的渐近分析理论的主要组成部分，通常在 复分析 教程中有这方面内容的叙述。各种渐近分析方法的进一步的知识可在在参考文献中获得。