函数定义域，表示函数自变量取值的范围。一般地，给定两个非空 实数 集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域 。
函数定义域通常会与函数关系、 函数奇偶性 、函数最值和函数 值域 进行联系 ，函数的定义域是函数问题的最主要因素，也是解决函数问题的关键 。
简介
f（x）是函数的符号（y），f代表法则，y它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f（x）的解析式决定。例如： ，f代表的是把自变量x先平方再加1。 的取值范围 就是 的 值域 。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f（x）有了一个初步的认识，我们还需要对f（x）有更深刻的了解。
认识
我们可以从以下几个方面来认识f（x）。
第一：对 代数式 的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像 这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值 都有唯一的值与之对应，所以 的所有值的集合就是这个函数的值域。
第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、 值域 ，很难理解它的符号及其意义。
例如： 的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？ 的自变量是x，它的对应法则不是f。
我们不妨作如下假设，如果 ，那么 ， 与 这个 代数式 相等 ，即： 的自变量就是 的自变量。 的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。
再如， 与 是同一个函数吗？
只须列举一个 特殊函数 说明。
显然，f（x）与f（t）它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f（x）与f（t）就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
例：已知 ， 的定义域为 ，求 解析式和定义域
设 ，则； ，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把 代入 中）
所以， ，则
或者用这样的方法——更直观：
令 中的 ，这样就更直观了，把 代入 ，那么：
所以，
而f（x）与f（t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，
由 的定义域为 ，可知道：
的定义域为：
综上所述，
求解方法
组合函数
由若干个基本函数通过 四则运算 形成的函数，其定义域为使得每一部分都有意义的公共部分。
原则：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次方根的内部必须非负即大于等于零；（3） 对数 的真数为正，对数的 底数 大于零且不等于1。
复合函数
若，则就叫做f和g的复合函数。其中叫做外函数，叫做内函数。
例如：（1）已知的定义域，求的定义域。
解法：解 不等式 ：。
（2）已知的定义域，求的定义域。
解法：令，求函数的 值域 。
定义域
（ 高中 函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称f： 为集合A到集合B的一个函数，记作 ，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。
例如： 的定义域相同吗？ 值域 相同吗？如果已知f（x）的定义域是 的定义域是什么？
因为f（x）的定义域是 ，即是说对 中的每一个数值f（x）都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f（x）都没有函数值。例如3就没有函数值，即f⑶就无意义。因此，当 的取值超出了 这个范围， 也就没有了函数值，所以 的定义域是 这个 不等式 的解集；所以解得 ，此时x的定义域为 （定义域总是指x能取的范围与经过 括号 内变换后的范围不同）。定义域发生了改变。但是 值域 还是相同的，因为f进行变换的范围没有改变。
我们还可以通过函数图象来进行理解， 相当于把f（x）向左平移了一个单位，而仍要与原函数结果相同，所以定义域也要向左平移一位。
看是不是同一个函数，既要看对应法则f（），也要看定义域是否相同。如果都相同， 值域 自然也相同，就能证明是同一个函数。（注意：如果只知值域、对应法则不能推出定义域 如 有多种可能）
（是不是统一函数只要看（）前面的字母是不是同一个，注意大小写也要一样才是同一函数）
题目中的“已知函数f（x）”中的x是一个抽象的概念，
x可以代表f（） 括号 中任意表达式，
如果他的定义域是（a，b）
那么， 和 的定义域（定义域都是指 括号 内x的取值范围）都不是
就 高中 课程而言，函数定义域是说函数f（x）中，x的取值范围。
二、求函数的定义域：
求函数的定义域：
分母不等于0;
根号 内大于等于0;
区别值域
值域定义
函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法，
（4） 配方法 ，（5）换元法，（6） 反函数 法（逆求法），（7） 判别式 法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10） 基本不等式 法等
误区
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对 值域 问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为 反函数 定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠 不等式 的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、 周期性 来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求 值域 的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说：“ 值域 ”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。