拉普拉斯方程

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 方程（ 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 's 方程 ）又称调和方程、位势方程，是一种 偏微分方程 ，因由 法国 数学家拉普拉斯首先提出而得名。

拉普拉斯方程表示液面 曲率 与液体表面 压强 之间的关系的公式。

基本概述

一个弯曲的表面称为 曲面 ，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径 。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面 相交 ，可得到第二条截线和它的曲率半径 ，用 可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的 压强 p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差 称附加压强，其数值与液面 曲率 大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为 拉普 拉斯方程。

在数理方程中

拉普拉斯方程为： ，其中 为 拉普拉斯算子 ，此处的拉普拉斯方程为二阶 偏微分方程 。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数 ：

其中 称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数 ，即：

则该 方程 称为 泊松方程 。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的 椭圆型偏微分方程 。偏微分 映射 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为 拉普拉斯算子 ，英文是 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 经营者 或简称作 Laplacian 。

方程的解

称为 调和函数 ，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意 线性微分方程 ），这两个函数之和（或任意形式的 线性组合 ）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为 叠加原理 。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

二维方程

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：

解析函数 的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。

人物介绍

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 ，1749年3月23日生于 法国 西北部 卡尔瓦多斯 的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任 巴黎理工学院 教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为 法兰西学院 院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于 巴黎 。拉普拉斯在研究 天体 问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的 拉普拉斯变换 、拉普拉斯 定理 和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着极其广泛的应用。

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 曾任 拿破仑·波拿巴 的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把 无穷小量 的精神带到内阁里。在席卷 法国 的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断他的工作。尽管他是个曾染指政治的人，但他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他，同时也归功于他显示出的一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。