在数学以及物理中， 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 算子或是拉普拉斯 算符 （ 英语 ： Laplace 经营者 , Laplacian）是一个 微分算子 ，通常写成 Δ 或 ∇²；这是为了纪念 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 而命名的。拉普拉斯 映射 有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波 方程 的 数学模型 、 热传导 方程以及 亥姆霍兹方程 。在 静电 学中， 拉普拉斯方程 和 泊松方程 的应用随处可见。在 量子力学 中，其代表 埃尔温·薛定谔 方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是 霍奇理论 的核心，并且是 德拉姆上同调 的结果。
定义
拉普拉斯算子是 维 欧几里德空间 中的一个二阶 微分算子 ，定义为 梯度 （ ）的散度（ ）。因此如果 是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
的拉普拉斯算子也是 勒内·笛卡尔 坐标系 xi中的所有非混合二阶 偏导数 ：
作为一个二阶 微分算子 ，拉普拉斯算子把 函数 映射 到 函数，对于 。算子 ，或更一般地，定义了一个算子 ，对于任何开集 。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的 黑塞矩阵 的迹
另外,满足 的函数f,称为调和 函数.
坐标表示
二维空间
其中 与 代表 平面上的 勒内·笛卡尔 坐标：
另外极坐标的表示法为：
勒内·笛卡尔 坐标系 下的表示法
圆柱坐标系 下的表示法
球 坐标系 下的表示法
N维空间
在 参数方程 为（其中以及）的 维球 坐标系 中，拉普拉斯算子为：
其中是 维球面上的 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 贝尔特拉米 映射 。
恒等式
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是 球谐函数 ，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的 梯度 是一个径向 向量 ，而角函数的梯度与径向向量相切.
球谐函数还是球 坐标系 中的拉普拉斯算子的角部分的特征 函数
推广
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非 欧几里德空间 ，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。