误差函数

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数，error 函数 or Gauss error function）是一个非基本函数（即不是初等函数），其在概率论、 统计学 以及 偏微分方程 中都有广泛的应用。在统计学与机率论中， 高斯函数 是常态分布的密度函数，根据 中心极限定理 它是复杂总和的有限机率分布。高斯函数是量子 谐振子 基态 的 波函数 。在数学领域，高斯函数在厄尔米特 多项式 的定义中起着重要作用。在光学以及 微波 系统中有高斯波束的应用。高斯函数在图像处理中用作预平滑核。

具体内容

定义

,

且有erf(∞)=1和erf(-x)=-erf(x)。

导数与积分

误差函数的 导数 为：

等等

误差函数的重积分定义为：

且 ,

可得 ,

级数展开式

误差函数的 级数 展开式为：

应用

高斯函数 的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：

计算化学中所用的 分子轨道 是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。

在数学领域，高斯函数在厄尔米特 多项式 的定义中起着重要作用。

高斯函数与 量子场论 中的真空态相关。

在光学以及 微波 系统中有高斯波束的应用。

高斯函数在图像处理中用作预平滑核。