在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的正整数a,d，有无限多个 质数 的形式如a+nd，其中n为正整数，即在等差数列a+d,a+2d,a+3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。
人物介绍
狄利克雷 （ ） Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德国数学家。对数论、 数学分析 和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于 格丁根 。中学时曾受教于物理学家G.S. 欧姆 ； 年在巴黎求学，深受 J.-B.-J. 傅里叶的影响 。回国后先后在 布雷斯劳 大学、 德国联邦国防军指挥学院 和 柏林洪堡大学 任教27年，对 德国 数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在 哥廷根大学 的教授职位。
在 分析学 方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面，他是 高斯 思想的传播者和拓广者。1836年 狄利克雷 撰写了《 数论讲义 》，对 高斯 划时代的著作《 算术研究 》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。 年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用 抽屉原理 。阐明 代数数域 中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面，他对椭球体产生的 引力 、球在不可压缩 流体 中的运动、由 太阳系 稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称 狄利克雷问题 。
定理
欧几里得 证明了有无限个 质数 ，即有无限多个质数的形式如 。
算术 级数 的质数定理：若a,d互质，则有
其中φ是 欧拉函数 。取 ，可得一般的质数定理。
Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数 中最小的质数少于 ，其中L和c均为 常数 ，但这两个常数的最小值尚未找到。
Chebotarev密度 定理 是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。
定理证明
如下：
考察其 对数 形式为：
将上式分开写为：
易知：
在 处解析（因为绝对收敛）。
上式之所以成立是由 狄利克雷特征 的正交性决定的，将其改写为：
显然 当 时解析，当 时我们有：
因此我们有：
至此，我们已经证明了：
故存在无穷多个素数 ，且其分布密度为 。