内切圆（英文：Inscribed circle），是指与 多边形 的每一条边都相切的圆，称为该多边形的内切圆，而这个多边形叫做圆的外切多边形。 内切圆是 多边形 内部最大的圆形，其圆心到多边形的各边等远。
在任意 正多边形 中都可以内切一个圆 。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心也是三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。该三角形是圆的外切角形。常用的 构造线 是过圆心作垂直 线段 。
定义
在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是多边形的 内切圆 ，这时称这个多边形为 圆外切多边形 。它亦是 多边形 内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的 内心 。
一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和 正多边形 一定有内切圆。拥有内切圆的 四边形 被称为圆外切四边形。
性质
（1）在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的 垂线段 相等 。
（2）正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和 外接圆 的圆心重合，都在 正多边形的中心 。
（3）常见 构造线 ：过圆心作垂直。
计算
1)对于一般的三角形， 三角形面积公式 如下：
2)在 直角三角形 的内切圆中，有这样两个简便公式如下
（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
三角形的内切圆
任何三角形都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为I，是三角形 内角 平分线的交点。在 三线 坐标中，内心是1:1:1。内切圆的半径可以用公式{\displaystyle {\frac {2\triangle }{a+b+c}}}计算，其中{\displaystyle \triangle }表示三角形的面积，a、b、c为三角形的三个边长。三角形的 外接圆 半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系：{\displaystyle R^{2}-OI^{2}=2Rr}。 直角三角形 两股和等于 斜边 长加上该三角形内切圆直径{\displaystyle a+b=c+2r}。在直角座标系中，若顶点的座标分别为{\displaystyle (x_{1},y_{1})}、{\displaystyle (x_{2},y_{2})}、{\displaystyle (x_{3},y_{3})}，则内心的座标为{\displaystyle ({\frac {ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})}。
四边形的内切圆
不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和 相等 ：{\displaystyle AB+CD=AD+BC}。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为：{\displaystyle S_{ABCD}=rs}，其中s为半 周长 。同时拥有内切圆和 外接圆 的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的 切点 的连线相互垂直。
正多边形的内切圆
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为a的正多边形的内切圆半径为：{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}。其内切圆的面积为：{\displaystyle s_{n}=\pi r_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}。内切圆面积{\displaystyle s_{n}}与 正多边形 的面积{\displaystyle S_{n}}之比为：{\displaystyle \varphi _{n}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac {{\frac {\pi a^{2}}{4}}\cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {na}{2}}\left[{\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]}}={\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}。当 正多边形 的边数趋向无穷时，内切圆面积与正多边形面积的比值趋向于1。
扇形内切圆
与 扇形 ⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆。
内切圆圆心O′在扇形的 圆心角 AOB的角平分线上
(R是扇形半径,r是内切圆半径)
过O′作 , 垂足 A, 直角三角形 中
扇形面积 是原来 圆面积 的
∴扇形的内切圆面积与扇形面积的比为
内切圆的半径为 ，当中 S 表示三角形的面积，C表示三角形的 周长 。
内切圆等于 外切圆 的2分之1
面积与原正方形比为