十二平均律（Twelve-tone equaltemperament）又称“十二等程律”，简称“平均律（Equal temperament）”，是一种音乐调律系统，是世上通用的三大音乐定律方法之一，简单地说，十二平均就是将一个纯八度音程平均分成12等份每等份，称为半音，如 钢琴 等 键盘乐器 就是根据十二平均律来定音的，除此之外，十二平均律还广泛应用于交响乐队中许多乐器的定音。
十二平均律是由中国明朝 朱元璋 九世孙、郑藩第五代世子 朱载堉 于16世纪首次提出，时名“ 新法密率 ”，其通过自制81档大算盘完成八度均分计算，结果精确到 小数点 后25位。在西方，由 荷兰 数学家 西蒙·斯蒂文 于1605年提出了十二平均律的计算方法， 法国 科学家 马林·梅森 于1636年得出了与朱氏平均律同样的数值，但朱载堉的理论比他们的研究早数十年，在同一时期，来到中国的传教士 利玛窦 将中国的十二平均律带到西方世界。十二平均律的出现简化了和声关系和调性问题，也促进了世界各地音乐文化发展融合，推动了音乐艺术的传播和发展。
十二平均律对于音乐发展有着极其重要的价值，其纯五度音程的两个音的波长比为（1/2）^（7/12）≈0.6674，与2/3≈0.6667非常接近。十二平均律的纯四度和大三度，两个音的波长比分别与3:4和4:5比较接近。正因为其统一了诸调式，适用不同乐器及方便调等特点，十二平均律得以在交响乐队和健盘乐队乃至当今的 民俗音乐 演奏中得到广泛使用。可以说，十二平均律的发明给作曲、演奏、演唱带来了划时代的发展， 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫 的《等程律钢琴曲集》（1722年）通过48首作品验证了该律制的转调优势，而 朱载堉 的理论成果通过传教士著作传入 欧洲 ，为 键盘乐器 的普及奠定基础。
历史沿革
中国发展
东周周王族 曾国 的 曾侯乙编钟 证明中国十二律的实践开始于 西周 或更早。从历史记载看，我国在音乐实践和平均律理论的出现约在 南北朝 时期，当时何承天（公元370~447年）创制一种新律，创造了最早的十二均差律（新律）已经非常接近十二平均律了，但何承天的新律不是精准的平均律。直到明代 朱载堉 《律学新说》问世，才出现完全准确的十二平均律。
明朝中期，皇族世子 朱载堉 [yù]发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题，这种律制包括了乐音的标准音高、乐音的有关法则和规律。朱载堉将此称之为“新法密律”（即十二平均律）。 并研发、制作出世界上最早的十二平均律乐器——“律管”及“律准”。
朱氏十二平均律提出后，首先在国内引起很大反响。时任南京太仆寺少卿的 李之藻 （与徐光启、 杨廷筠 被称为明代 天主教 三大柱石）在其10卷巨制《半官礼乐疏》律昌部分多次提及郑世子（即 朱载堉 ）《 律吕精义 》及朱氏理论。此后成书的律吕著作大凡也要提及朱氏理论。朱氏平均律理论不仅在中国，在世界上也是悬而未决的。一经创立，便成就了“世界第一”。朱载堉的十二平均律1581年经其著作《律历融通》提出，又经1584年《律吕精义》书中精密计算与科学实验，并于明万历二十三年71岁高龄时应召将其与其他著作一起献于皇帝，但却被长久束之高阁。
西方发展
在西方，十二平均律的起源可以追溯到16世纪末至17世纪初，一些 欧洲 音乐家开始尝试将 音阶 分为12个等距的 半音 。1605年， 荷兰 数学家 西蒙·斯特芬 （Simon Stevin）也提出了计算十二平均律的方法，但并未公诸于世。 音乐家 约瑟夫· 艾勒德（José Echegaray）深入研究了调律系统，他提出了一种 数学模型 ，将 八度 平均分为12个等距的半音，从而使 和声 和调性关系更加简单明了。同一时期，胡安·卡布里洛（Juan Caramuel de Lobkowitz）也独立研究了十二平均律，并发表了相关的论文，为十二平均律的确立和推广做出了重要贡献。
18世纪来自 法国 的传教士钱德明（Joseph-Marie Amiot）为西方传播中国音乐做出了贡献，他用法文翻译了 李光地 著《 古乐经传 》，1776年著《中国音乐概论》一书。在本书中他为 朱载堉 及其 乐理 作了描述，他的著作在19世纪经常被引用，是 中国 材料的主要参考文献。1565年 耶稣会 会士在中国澳门成立教会，训练传教士，研究中国文化，这个教会将把中国文化的实质告知西方世界。
1582年 意大利 耶稣会会士 利玛窦 （MatteoRicci）在澳门学习中文，1595年到 南京市 ，1601年定居 北京 。1600年利玛窦等人携带贡品觐见 朱翊钧 皇帝， 明朝 士大夫向他们请教科技知识的同时，不断向他们介绍中国文化。在得到中国文化的同时利玛窦也得到了十二平均律的信息，利玛窦把 朱载堉 堉的十二平均律带到西方世界。 到了19世纪，十二平均律逐渐成为 音乐创作 和演奏的主导调律系统，推动了音乐的发展和各种音乐风格的融合。
相关争议
朱氏平均律于1581年初次提出1584年正式提出并经科学实验，在世界是第一次。大凡提到这一理论者都认为比西方人弗克迈特（德国人1645-1706）于1691年提出十二平均律理论早了近百年。不过据中西音乐交流史学家 陶亚兵 先生考证，早在 朱载堉 之后19年即1605年 荷兰 数学家 西蒙·斯蒂文 做出了十二平均律数学结果。又继朱氏之后55年，即1636年， 法国 科学家、 哲学家 马林·梅森 （Pere Marin Mersenne）在其著作《和谐的宇宙》中提出十二个 半音 中每相邻两个音的频率比为1.059463即32，这一结果与 朱载堉 完全相同。基于上述原因，于是关于斯特芬、梅森等人的成果是否受到 朱载堉 的影响，是否是朱氏平均律的直接西传的结果的问题引起争议。
最早直接进行系统论证“朱氏 密率 ”向西传播可能性问题的文章及著述来自于 戴念祖 先生于1985发表于自然科 历史学 研究杂志上的文章《关于朱载堉十二平均律对西方的影响问题》以及次年出版的朱载堉专题研究著作《朱载堉一一明代的科学和艺术巨星》（1986年）。《 朱载堉 一一明代的科学和艺术巨星》一书以史为据，首先梳理了当时中西交流的时代背景，随后从多方面论述了朱载堉平均律理论传到西方的路线和可能性，深入细致，也让人信服。书中指出的西方最早对十二等程律进行数学计算的两位历史人物一 荷兰 的数学家和工程师西蒙·斯蒂芬以及 法国 的数学家、 哲学家 马兰·梅森 还有其中可能起到中间作用的传教士 利玛窦 等人都是作者基于历史线索的梳理而得出的，有关他们的历史活动是论证西传说的关键所在，因此在人物活动、人物关系的考察上，作者极尽翔实地进行了历史的还原，论述了向西传播的路线的多种可能。总得来说， 戴念祖 先生对于此问题的研究和阐释可以概括为三点：“西方等程律 音阶 的起源是模糊的”，时间上， 朱载堉 的成果都早于斯蒂芬和梅森二人，这是确信无疑的；“三条历史线索”的梳理，构成了严密完整的推论。
另一位权威学者卓仁祥先生关于“西传说”的论述主要见于 中央音乐学院 出版社2009年出版的《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》专著以及作者2010发表在《 星海音乐学院学报 》的《从文化史角度看十二平均律的发现》文中。卓仁祥根据自己的研究情况，将此问题的焦点直接放在了 利玛窦 和 马兰·梅森 这两个人身上。
当时被 中国 朝廷认为“西洋贤人”的利玛窦对当时朝廷上正在进行中的“历律争论”颇感兴趣甚至在他的私人日记里也提到了 朱载堉 所研究的历律问题。同时，利玛窦还与 法国 的科学家 马林·梅森 存在一定的学术交往关系”。因此卓仁祥认为：在他们交往过程中，利玛窦将朱载堉获得的=1.059463……传达给了梅森。1636年梅森出版《和谐音概论（ Harmonie universelle ）》，书中在西方世界第一次出现1.059463这个数字，在此之前西方无人知道这个数字。卓仁祥认为 朱载堉 十二平均律要想西传并不困难也不复杂，它所需要的仅仅是在来往信件里提到最终的一个数据足以。若确实如此，那么 马兰·梅森 为何没在其发表的著作或文章中提到数据的来源。
这很可能与17世纪 欧洲 的社会背景相关联，在斯蒂芬和梅森所处的时代，并不像今天一样，著作家的著作必须书写文献或事实来源。另外，在那个时代也存在着更深层的社会原因，也就是封建腐朽的教权统治下对于科学文艺的高压政策，与梅森处于同一时代的 伽利略·伽利莱 就曾因支持 哥白尼 的 日心说 在1634年受到当局的审判和监禁。而保守派的梅森自然不会在自己的书里承认这是来自于东方异国的理论数据，这是关于梅森发表平均律言之有理的推论，但由于没有信件实物以及中西双方相关史料的记载，难以证实。而西方有关 朱载堉 十二平均律的首次记载则是两百年之后。
律制规则
十二律，顾名思义数目有12个，分别是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤[ruí]宾、林钟、夷则、南吕、无射和应钟。其中又分为两类，奇数为阳，黄钟、太簇、姑冼、蕤宾、夷则、无射称为六律；偶数为阴，大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟称为六吕，合称为律吕。十二律特定的名称代表着固定的音高。我们一般认为，五声相当于现代音乐中的音阶1（do）、2（re）、3（mi）、5（sol）、6（la），是相对音高。而十二律则相当于现代音乐中的定调，也就是定出一个绝对音高，以之作为音阶的起点。这样，有了固定的律，乐队在演奏时才能保证曲调高低的一致性。譬如说，以 黄钟 为律，就相当于现代乐曲中的C调。
十二平均律的基础是将八度之间的频率比例2:1平均分为12等份，每等份为一个半音（小二度），其频率比为¹²√2，约为1.059，两个半音为一个全音（大二度），使得相邻的半音间隔之间的频率比相等，约为1.05946:1。用现代通用的 乐理 知识解释，即将一个纯八度的振动体长度均匀地分为12份比值相等的音程，各相邻两律之间的振动数/频率之比完全相等。 这种数学关系可以通过 对数 的性质来表示和计算，为 乐理 和实践提供了一个简洁的数学模型。
十二平均律的原理与 数学基础 主要涉及音高、频率、音程和对数等概念。例如， 钢琴 上每相邻的两个琴键（黑白都算）的差别，音乐上即为半音，比如C和♯C相差半音，C和D相差全音（两个半音）。如果B再往上升半音，会发现这个音的波长刚好是C的一半，而在音乐上称为一个八度。音高是音乐中音调的高低，由声波的频率决定。频率是 声波 每秒振动的次数，单位是 赫兹 （Hz）。音程是两个音之间的距离，可以用比例表示。
在十二平均律中，八度音阶被平均分成12个等距的半音，使得相邻的半音间隔之间的频率比相等。这意味着整个八度音阶的频率比为2:1，每个半音间隔的频率比为二次根号12，约为1.05946:1。 这种数学关系可以通过对数的性质来表示和计算。设两个音的频率分别为 2012年世界一级方程式锦标赛 和f2，它们之间的半音数为n，则有以下公式：
这个公式可以用来计算任意两个音之间的半音数，也可以用来计算某个音的频率。
与其他音律系统相比，十二平均律的主要特点是其半音间隔的均匀性。十二平均律的半音，比五度相生律的半音大，比纯律小。因此，使用十二平均律奏和弦不纯，奏旋律导向性不够，所以在乐曲的演奏中，尤其在乐队多声部合奏的时候，实际上是多律并用的，根据实际情况，在演奏过程中，偏向哪一种律制，并不是一成不变的。在某些其他音律系统中，如纯律或均分律，音程的比例不是完全相等的，这可能导致和声关系和调性的复杂性。十二平均律通过平均划分音程，简化了音乐创作和演奏中的和声关系和调性问题。
具体应用
乐器
十二平均律尤其在交响乐队和 键盘乐器 （例如 钢琴 ）中得到了广泛应用，因为它能方便地进行移调。在交响乐队中，每个乐器的音高都是根据十二平均律来调整的，这使得不同乐器的声音能够和谐地融合在一起。 现在的所有的键盘乐器、有品弹拨乐器和按键 管乐器 都是用十二平均律定律的，其它的乐器在演奏时也使用或部分地使用十二平均律。钢琴是最大的十二平均律乐器，音域最宽，包含了乐音体系中的最低音至最高音。 三十年代， 意大利 管风琴 家弗雷斯克巴尔迪（1583~1643年）将十二平均律用于健盘乐器，这可能是十二平均律最早在 键盘乐器 上的实践。但他所研究的包括在键盘乐器上运用的是不是真正意义的十二平均律，目前未见确凿记载。
中国古典音乐
朱载堉 的十二平均律理论的出现，使得 音乐创作 和演奏更加便捷，也极大的丰富了音乐表达的多样性。 清朝 时期，音乐家们通过不断地实践和探索，逐渐完善了十二平均律在音乐创作和演奏中的应用，中国音乐界开始广泛应用十二平均律。 在 京剧 、 昆曲 等 传统音乐 中，十二平均律被广泛应用在唱腔设计和乐器演奏中。
西方古典音乐
十二平均律在西方古典音乐中的应用也相当广泛。巴洛克时期的著名音乐家，如 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫 、 格奥尔格·亨德尔 和 安东尼奥·维瓦尔第 ，都采用十二平均律进行 音乐创作 。其中，巴赫的《平均律钢琴曲集》（The Well-Tempered Clavier）便是十二平均律在调性音乐中的典型应用。1567年， 意大利 盲人 音乐家格扎尼斯创作了《24首循环的帕萨迈佐-萨尔塔列洛舞》，这是目前所见西方最早的以 调式 循环为基础的音乐作品；1584年文森佐·伽利略创作了《24首舞蹈组曲》标明了相关的12大调和12个小调；约翰威尔逊为“ 鲁特琴 ”或“泰奥博”课程教学，在12个调上设计创作了《30首前奏曲》；这些都是最早与“平均律”相近律制的随着十二平均律在 古典音乐 中的普及，作曲家得以更自由地创作和转换调性，推动了音乐风格的发展。
现代流行音乐
无论是 艺术摇滚 、 架子鼓 、 电子舞曲 还是其他流行音乐风格，都普遍采用十二平均律。这使得不同音乐风格之间的融合成为可能，也为音乐家们在创作过程中更加灵活地运用 和声 、调性和音程提供了便利。 此外，十二平均律也被用于 制作音乐 作品中的和声和旋律。在西方音乐理论中，十二平均律的应用也促进了 音乐创作 的发展，例如在 浪漫主义音乐 、 现代主义音乐 等不同时期，许多作曲家都利用十二平均律创作出了具有独特风格的音乐作品。
理论特点
十二平均律的理论特点主要包括——简化和声关系：十二平均律将 八度 划分为12个等距的 半音 ，简化了和声关系和调性问题，使得音乐家在创作和演奏中能够更加灵活地运用和声和调性。 自由 转调 ：十二平均律使得作曲家能够在作品中自由地转换调性，不受调性变换带来的音程失真的影响。 融合不同音乐文化：由于十二平均律的普及，不同音乐文化之间的交流和融合变得更加容易。
同时在音程音律方面也会有限制。主要表现在——部分音程失真：十二平均律中的某些音程与 纯律 相比会产生微小失真，可能导致某些 和声 音程的纯度降低。 忽略其他音律系统：十二平均律的广泛应用可能导致其他音律系统的忽视，从而限制了音乐的多样性。 不能完全适应某些音乐风格：部分非西方音乐和 民间音乐 使用特定的 音阶 和 调式 ，可能无法完全适应十二平均律的要求。
价值和影响
音乐价值
十二平均律在西方古典音乐的发展过程中起到关键作用：十二平均律使得作曲家能够在作品中自由地转换调性，这种灵活性为 音乐创作 带来了新的可能性，从而推动了西方古典音乐风格的演变和发展。例如诸多知名作曲家，从巴洛克时期的 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫 、 格奥尔格·亨德尔 到古典时期的 弗朗茨·海顿 、 沃尔夫冈·莫扎特 ，以及浪漫时期的 路德维希·范·贝多芬 、 约翰内斯·勃拉姆斯 ，他们的音乐作品都受益于十二平均律所带来的 和声 和调性上的灵活性。
十二平均律为 乐理 体系的完善奠定了基础，为音乐家们提供了更广阔的发展空间。在此基础上，音乐家们陆续发展出了各种调性系统、 和声学 体系和音乐形式，如大调、小调、 二进制 、 三进制 等，为作曲家提供了更丰富更多元化的的创作资源。这些理论体系使得 音乐创作 更加严谨、科学，为后来音乐发展奠定了坚实的基础。
十二平均律对乐器设计和演奏技巧也产生了重要影响。 钢琴 等 键盘乐器 的设计和 调音 都基于十二平均律，各种音高的音符在键盘上 均匀分布 。此外，各种弦乐、管乐和 打击乐器 的演奏技巧和教学方法也受到十二平均律的影响，使得乐器演奏更加标准化。
十二平均律简化了 音乐教育 ，使音乐学习变得更加容易。无论是 声乐 还是 器乐 ，学习者都可以借助十二平均律清晰简洁的 音阶 体系，更好地培养对 和声 、调性和音程的感知。这种普及化的音乐教育方式有利于更多人接触和了解音乐，因一部推动了音乐艺术的传播和发展。
十二平均律促进了世界各地音乐文化发展融合：印度古典音乐采用了与十二平均律类似的音阶划分方式，使得印度古典音乐与西方音乐的交流变得更加容易 。此外， 非洲 和 拉丁美洲 等地的 民俗音乐 亦受到了十二平均律的影响，这使得这些音乐更易于与其他音乐文化相互融合。
文化价值
十二律 的名称本身也具有很浓厚的文化象征意义。 杜佑 在《 通典 》一书中指出：“ 黄钟 ”表示阳光聚积于万物，萌动复苏；“太簇”，表示簇地而出；“姑洗”表示万物去旧布新；“粪宾”表示万物 共相 宾敬；“夷则”表示万物平和之法；“无射”表示万物复始，无有终极；“大昌”象征万物生育之功；“应钟”是万物集聚呼应之意；“南吕”象征成功之意；“林钟”是指万物茂盛；“仲吕”指气盛生长之意；“夹钟”象征万物分解然后又聚合的意思 ——说明了 十二律 在我国古代文化所具有象征自然万物聚合生长规律的含义，这也是我们的祖先希望依据自然的和谐规律创造音乐的和谐，从而创造生活的和谐。十二律这种音乐现象既有音乐技术理论的意义，也隐含着在中国古老文化中存在一种热爱自然，人与自然和睦相处的美好理想。事实上，这些哲学理念通过世人所欣赏到的各种中国传统音乐都能够体会到，这也可以说明，它是我们中国人自古以来都热爱和平的文化例证。
十二平均律是工业经济发展以后时期使用的主要律制。十二平均律律制对音乐美学、 音乐理论 、 音乐创作 、 乐器学 、 音乐表演 、音乐体裁等有影响，相互支持，又相互制约。同时我们的民族文化又是世界 多元文化 不可缺少的组成部分。
总之，十二平均律的根本原则并不是一个单项的科研成果，而是涉及古代计量科学、数学、物理学中的音乐 声学 ，纵贯全部 中国 乐律 学史 ，旁及天文历算并密切相关于音乐艺术实践的、博大精深的成果。