反比例函数(inverse proportional 函数 )是一类重要的数学函数，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 （k为常数， ）的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数 还可以表示为 的形式。此外，反比例函数的自变量 不能为0。反比例函数的定义域为 ， 值域 为 。
反比例函数图像是一种特殊的 双曲线 ，其焦点不在坐标轴上，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称 。当k＞0时，图像在一、三象限；k小于0时，图像在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。此外，反比例函数的图像既不可能与 轴相交，也不可能与 轴相交，其图像只能无限的接近于 轴和 轴 。当比例系数 时，反比例函数在 上单调递减，在 上也单调递减 ；当比例系数 时，反比例函数在 上单调递增，在 上也单调递增 。反比例函数 是奇函数，它们的图像都是关于原点对称的，同时也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x。 。
反比例函数的历史可以追溯到 古希腊 。但是反比例函数的具体形式直到17世纪才得以确定。在17世纪，数学家 沃利斯 （John Wallis）首次将反比例函数引入数学中，并将其称为“比例之反”。他将反比例函数的形式表示为 ，其中 为 常数 。沃利斯的工作为后来的数学家提供了基础 。18世纪， 瑞士 数学家莱昂 哈德·欧拉 （Leonhard Euler）对反比例函数进行了深入研究，并将其应用于数学分析和物理学中。随着数学的发展，反比例函数逐渐成为数学中的重要概念，在物理学、 经济学 、 化学 、 建筑工程 、病理生理学等领域中均有广泛的运用 。
基本概念
函数
设 是非空实数集，如果对于 中的每一个 ，按照某个对应法则 ，都有确定的 与之对应，则称 是定义在 上的 的函数，记作 ， 称为函数的定义域， 称为自变量， 称为因变量。如果 是函数 的定义域中的一个值，则称函数 在点 有定义。函数在点 的对应值称为函数在该点的函数值，记作 或 。 当自变量 在定义域内取每一个数值时，对应的函数值的全体称为函数的 值域 ，记作 。需要注意的是在函数 的表达式中， 表示函数关系，而 表示对应于 的函数值，两者是有区别的 。函数 的定义域 是自变量 的取值范围，而函数值 则是由函数关系 确定的，即只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的 。
反比例函数
一般地，形如 （k为常数且k≠0）的函数叫做反比例函数，反比例函数 还可以表示为 的形式。此外，反比例函数的自变量 不能为0。当 时， 与 两种表达式形式是等价的，反比例函数的定义域为 , 值域 为 。例如 与 均为反比例函数 。反比例函数中，当 时， 值越大，反比例函数的图像越远离原点； 值越小，越靠近原点。当 时, 值越大，反比例函数的图像越靠近原点； 值越小，越远离原点。即比例系数 的 绝对值 越大，反比例函数 的图像距原点越远 。
历史沿革
古希腊时期至17世纪初
反比例函数的研究可以追溯到 古希腊 。 古希腊 数学家 欧多克索斯 （ Eudoxus ）在公元前4世纪提出了反比例的概念，但在古代，反比例函数的研究并不像其他函数那样深入。直到17世纪，反比例函数的研究才得到进一步推进。数学家 沃利斯 （John Wallis）在1655年的著作《 算术学与几何学 》中，首次将反比例函数作为一种特殊的函数形式进行了讨论。他描述了当两个量成反比例关系时，它们的乘积保持不变。这为反比例函数的研究奠定了基础 。
17世纪中叶至18世纪
18世纪， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler）对反比例函数进行了更加系统和深入的研究。他在其著作《 分析通论 》（Introduction in Analysin Infinitorum）中，对反比例函数的性质和图像进行了详细的分析和描述。 欧拉 的工作为反比例函数的理论奠定了基础，并为后来的数学发展提供了重要的支持。他对反比例函数的研究不仅包括其基本性质，还涉及到 导数 、积分等方面的研究，为进一步的应用提供了理论基础 。
18世纪末至今
随着数学的发展和应用的拓展，反比例函数在物理学、 经济学 、工程学等领域得到了广泛的应用。例如，在 牛顿第二运动定律 中，物体的加速度与作用力成正比例关系（当物体质量一定时）；在纯电阻电路中，电压一定时电阻与电流成反比例关系。反比例函数的应用还扩展到其他学科领域，如生物学、 化学 等。随着计算技术的进步，反比例函数的计算和应用变得更加便捷和广泛，为解决实际问题和推动科学发展做出了重要贡献 。
反比例函数图像
反比例函数图像为双曲线
在平面上到两定点的距离之差等于定长的点的轨迹叫做双曲线 。两定点叫做双曲线的焦点，常用 、 表示，两 焦距 之间的距离叫做焦距 。双曲线的标准 方程 为 ,它所表示的是双曲线的焦点在 轴上，焦点是 、 ,这里 。若双曲线的焦点在 轴上，焦点是 ， ，则此时双曲线的标准方程为 。
反比例函数图像是一种特殊的 双曲线 ，其焦点不在坐标轴上，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三 象限 或第二、四象限，它们关于原点对称 。
证明： 在 转轴公式 中，即 ,令 ，得： , ,以之代入 方程 得 即 或 ,故反比例函数 为一条 双曲线 ，它的 渐近线 为 轴和 轴。由 的例子可知，一般地，反比例函数 的图像一条双曲线 。
比例系数k的几何意义
反比例函数图像上的点 具有两坐标之积为常数这一特点，即过双曲线上任一一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 。
推导： 如下图所示，过双曲线上任意一点 分别作 轴与 轴的垂线 ，所得的矩形 的面积 ,因为 ,故 ,所以 。
相交性
由于反比例函数 中 与 都不为0，故反比例函数 的图像既不可能与 轴相交，也不可能与 轴相交，其图像只能无限的接近于 轴和 轴 。
性质
单调性
单调性的定义
设函数 在 内有定义，若对 内的任意两点 ，当 时，恒有 ,则称 在 内单调递增；若当 时，恒有 ,则称 在 内单调递减，区间 称为单调区间 。单调递增函数的图像是沿 轴正向上升的曲线，单调递减函数的图像是沿 轴正向下降的曲线，单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数 。
反比例函数的单调性
（1）当 时，反比例函数图像的两个分支分别在第一、三 象限 内，在每个象限内， 随着 的增大而减小 ，即当 时，反比例函数在 上单调递减，在 上也单调递减 。
（2）当 时，反比例函数图像的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内， 随着 的增大而增大 ，即当 时，反比例函数在 上单调递增，在 上也单调递增 。
奇偶性
奇偶性的定义
如果函数 的定义域 关于坐标原点对称（即若 ，则 ）,若对于任意的 都有 ，则称 为 偶函数 ；若对于任意的 ，都有 ,则称 为奇函数。偶函数图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称 。
反比例函数的奇偶性
反比例函数 是奇函数，它们的图像都是关于原点对称的 。
有界性
设函数 在区间 上有定义，如果存在一个 正数 ，使得与任一 所对应的函数值 都满足 不等式 ,就称函数 在 内有界。若不存在这样的 ，就称 在 内无界 。
反比例函数的有界性
不能笼统说反比例函数 是无界函数还是 有界函数 ，因为反比例函数在某些区间内是无界的，但是在某些区间内却又是有界的。例如反比例函数 在开区间 内是无界的；但是在开区间 内是有界的 。
反比例函数的求导与积分
导数
设函数 在点 的某 邻域 内有定义，当自变量 在 处有增量 时，函数有相应的增量 ,如果极限 存在，则称此极限值为函数 在点 处的 导数 ，记作 , , 或 即 ,此时称函数 在点 处可导；若上述极限不存在，则称函数 在点 处不可导 。
反比例函数的导数
反比例函数 的导数为 ，例如函数 的导数为 。
积分
不定积分
在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 上的不定积分，记作 ,其中记号 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量 。由定义可知，如果 是 在区间 上的一个原函数，那么 就是 在区间 上的不定积分，即 。
定积分
设函数 在 上有界，在 内任意插入 个分点 ,把区间分成 个小区间 ，各个小区间的长度依次为 ,在每个小区间 上任意取一点 ,作函数值 与小区间长度 的乘积 ,并作和式 ,记 ,如果不论对区间 怎么分法，也不论对小区间 上点 怎么取法，只要当 时，和 总趋近于确定的极限值 ，则称这个极限值 为函数 在区间 上的定积分，记作 ,即 ，其中， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 为积分区间， 为积分下限， 为积分上限 。
反比例函数的积分
反比例函数的不定积分
反比例函数 的不定积分公式可表达为 ，例如函数 的积分公式为
反比例函数的定积分
反比例函数 在 （ , ）的定积分为 。
相关概念
正比例函数
当两个相互有关的量 和 在变化过程中保持其比值不变时，称 与 为 正比例 ，记作 （ 是一个不为0的 常数 ），常数 称为比例系数。函数 （ 是一个不为0的常数）叫做正比例函数 。正比例函数的定义域和 值域 都是全体 实数 。
以上内容来源于
幂函数
函数 ( 为任意实数)叫做幂函数，幂函数的定义域和值域都随 的不同而有所不同。例如 的定义域是 ， 的定义域为 。但是无论 取什么值，幂函数 在 内总是有定义的，且图像都过点 。反比例函数可以视为是幂函数的一种特殊情况 ，即反比例函数为幂函数 中 时的情形 。
应用领域
物理学
反比例函数是物理学中非常重要的概念，在物理学中应用十分广泛。例如：反比例函数可以用来描述 电阻 与截面积之间的关系，即电阻与截面积成反比关系。可表示为 ,其中 表示电阻截面积 。此外，反比例函数在物理学中还可用于表示 衍射 剧烈程度的中央衍射亮条纹的角宽度 和衍射物线宽度 的关系，其表达式为 (单缝) 。
建筑工程
反比例函数在 建筑工程 中有较为广泛的应用，例如，可用于表示 卵石 混凝土28天 抗压强度 与 与配置混凝土时的 水灰比 之间的关系，可用式子表示为 ,其中 为水泥标号， 为实验系数 。
化学
反比例函数在 化学 中可应用于多个方面。例如反比例函数可用于描述一定量气体的体积与其所受 压强 之间的关系。当温度一定时，一定量气体的体积与其所受压强成反比。如果气体的压强增大,体积就缩小，单位体积内的分子数就增多，即单位体积内的反应物的物质的量增加,也就是反应物的浓度增加，因而反应的 速率 加快。相反，减小压强，气体体积就扩大，浓度减小，因而反应速率减小 。
经济学
在 经济学 中，反比例函数应用也较为广泛。例如，反比例函数可以用来表示利率与 货币需求 的关系。一般情况而言，在利率较高时，无论哪一种动机的货币需求都会减少；反之，在利率较低时，货币需求就会增加，即利率和货币需求是反比例函数关系 。此外，在经济学中市场需求函数也是一个反比例函数，市场需求函数可以表示为 ，其几何表示为一条经过初始价格和初始产量即经过 的等轴 双曲线 。
病理生理学
在病理生理学中，反比例函数可用于描述动脉血的 和 肺泡 通气 速率 之间的关系，可表示为 。