同伦

同伦（ 英语 ：Homotopic）是 代数拓扑 的一个基本概念，描述了两个 拓扑空间 之间的“连续变化”。如果两个拓扑空间可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么这两个空间同伦。同伦的概念不仅适用于空间，还适用于 映射 ：如果两个定义在拓扑空间之间的 连续函数 可以通过连续形变互相转换，则这两个函数称为同伦的。同伦的一个重要应用是在定义 同伦群 和上同伦群，它们是代数拓扑中的重要不变量。

定义

设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射。如果存在连续映射H：X×I→Y，使得对任何x∈X，H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，则称f与g同伦，并称H是连接f和g的一个同伦。这里I=[0,1]。如果我们将H的第二个参数视作时间，这样H描述了一个从f到g的连续形变过程：在时间0时刻我们得到函数f，在时间1时刻我们得到函数g。

如果存在连续 映射 f：X→Y和g：Y→X，使得g·f与恒同映射idx：X→X同伦，f·g与恒同映射idy：Y→Y同伦，则称X与Y同伦等价。称f和g是同伦等价映射，g是f的一个同伦逆。

描述

在同伦变换下保持不变的性质，就称为同伦不变量。比如亏格（洞眼的个数）， 欧拉示性数 等等。但是维数就不是同伦不变量。同伦是关于映射的 等价关系 ，同伦等价才是关于空间的等价关系。同伦关系满足函数的复合：如果 一级方程式锦标赛 与g1同伦，f2与g2同伦，则它们的复合f2∘f1与g2∘g1也同伦。

同伦概念的产生

同伦和伦移的定义由brouwer于1911年给出，虽然它的直观的观念形变（deformation）早在lagrange时代的变分学中已经出现并被使用，或许还可以追溯到更早。

性质

同伦是X到Y上所有的 连续函数 之间的一种等价关系。在特定的空间中应用同伦时， 代数 拓扑学 家一般使用紧生成空间、CW复形或谱等技术手段来解决技术上的困难。

例子

例一：考虑 实数 线上的两个函数f(x)=1和g(x)=-1，它们通过函数H(x,t)=1-2t在实数线上同伦。例二：在单位区间[0,1]上定义的函数f(x)=e^(2iπx)和g(x)=0，通过函数H(x,t)=(1-t)e^(2iπx)同伦，其中f描绘一个单位圆，而g停在原点。

相对同伦

为定义高阶 基本群 ，必须考虑相对于一个 子空间 的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化。设f,g:X→Y是 连续函数 ，固定子空间K⊂X；若存在前述同伦 映射 H:X×[0,1]→Y，满足对所有k∈K，H(k,t)=f(k)=g(k)，则称f,g相对于K同伦。

空间同伦等价

给定两个 拓扑空间 E与F，它们被称为同伦等价，当且仅当存在两个连续映射f:E→F和g:F→E，使得g∘f同伦于E的恒等映射idE，f∘g同伦于F的恒等映射idF。 同胚 蕴含同伦等价，但同伦等价不一定意味着同胚。例如，一个平面上的圆或椭圆同伦等价于去掉一点的平面， 线段 [a,b]、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。同伦等价是拓扑空间之间的 等价关系 ，许多 代数 拓扑学 里的性质均在同伦等价下不变，包括 单连通 、同调群及上同调群等。

同痕

同痕（Isotopy）是同伦的加细版，要求所论的函数f:X→Y和g:X→Y是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入 映射 相连。同痕的概念在 纽结理论 中格外重要：若两个结同痕，则我们视之 相等 ，可以在不使结扯断或 相交 的条件下彼此连续地变形。