拓扑空间（英文名：topological space ）是 拓扑学 领域研究的主要对象， 其定义为：对非空集合X上的 子集 族T，如果满足条件：(1)∅∈T，X∈T；(2)子集族中任意多个集合的 并集 、有限多个集合的 交集 属于子集族，则T为X上的拓扑。 拓扑空间的等价定义包括闭包公理、 邻域 系公理、子基公理等公理。
拓扑学的历史可追溯到17世纪，1679年， 戈特弗里德·莱布尼茨 （Leibniz）提出了位置 几何学 ，不考虑坐标以及度量，直接研究位置关系。 19世纪， 格奥尔格·康托尔 （Cantor）为了能够更方便准确地写出不连续点的集合需要满足的条件，提出了聚点、导集、开集、 闭集 等概念。 1906年，弗雷歇（Frecher）用收敛序列定义了一种空间，1907年， 亚当·里斯 （Riesz）用聚点也定义了一种空间，都是具有拓扑结构的抽象空间，但是他们的成果不能令人满意。直到1914年， 费利克斯·豪斯多夫 （Hausdorff）利用 邻域 系提出的拓扑空间定义发展成为了有系统且详尽的一般理论，一般拓扑学逐渐发展起来。后来，穆尔（Moore）于1916年用开集系、 库拉托夫斯基 （Kuratowski）于1922年用闭包 算子 分别提出另一种 公理系统 ，这些定义彼此等价。
利用已知的拓扑空间可以生成 子空间 、乘积空间、 商空间 等新的拓扑空间。 拓扑空间具有分离性、连通性、 紧性 等性质，连续映射的概念描述了拓扑空间的连通性。 常见的拓扑空间包括 向量空间 、度量空间、 巴拿赫空间 、 奥古斯丁-路易·柯西 空间等。 拓扑空间可以推广为模糊拓扑空间和未确知拓扑空间，同样可定义开集、 闭集 的概念。 此外，拓扑空间在现实世界中应用广泛，如在工程学中，基于拓扑优化与仿生的思想，可以设计一种空间太阳能电站，提升热量导出的效率。
定义
拓扑空间
子集 族： 设 是一个非 空集 合，记 是 的 幂集 ，即以 的所有子集（包括空集 和 自身）为成员的集合。把 的子集（即以 的一部分子集为成员的集合）称为 的子集族。
设 是非空集合， 是由 的某些子集所形成的集族，如果满足 ， （条件1）； 中任意多个集合的 并集 属于 （条件2）； 中的有限多个集合的 交集 属于 （条件3），则称 为拓扑空间，称 为 上的拓扑， 中的集合为 中的开集。 在不引起混淆的情况下，通常把 简写为 ，而不专门提到 。 条件1、2、3称为拓扑公理。
等价定义
闭包公理： 对于 的任何 子集 ，都有 的子集 与 之对应，且满足 ； ；
； ； 称 为 的闭包。
闭集 公理： 规定 的一个 子集 族 ，使它满足 ； ；若 ，则 ；若 ，则 ，其中 ， 为任意指标集。称 为 的 闭集 族，每个 称为 中的闭集。
领域系公理： 对每个 ，规定 的一个 子集 族 ，使它满足 ；若 ，则 ；若 ，
，则 ；若 ，则 ；若 ，则存在 ，使得对于 ，有
。 称为 的 邻域 系，每个 称为 的邻域。
子基公理： 规定 的一个 子集 族 ，满足 ； ；称 为拓扑空间 的一个子基。
基公理： 规定 的一子基集族 ，满足 ；对于 、 ，存在 ，使
。 称为拓扑空间 的一个基。
内部公理： 对于 的任何 子集 ，都有 的子集 与之对应，且满足 ； ， ；
， ； ， 。称为 的内部。
简史
背景与起源
拓扑学 的历史可追溯到17世纪，1679年， 戈特弗里德·莱布尼茨 （Leibniz）提出了位置 几何学 ，不考虑坐标以及度量，直接研究位置关系。 1736年， 欧拉 （Euler）解决了哥尼斯堡的七桥问题。 后来， 高斯 （Gauss）在他有关 代数 基本原理的第一个证明中研究过和拓扑（位置几何）相关的问题。1847年， 高斯 的学生李斯廷（Listing）在著作《拓扑学引论》中最早使用了“拓扑”一词。但以上这些学者在拓扑学方面的工作都是无意识的，他们的研究并没有体现出拓扑学研究连续变换下的不变性这一精髓。
拓扑空间定义的诞生，实际上是从 德国 数学家 格奥尔格·康托尔 （Cantor）开始的，他最初只是想推广三角级数的唯一性 定理 ，说明该定理即使遇到不连续的函数，在某些情况下仍然成立。为了能够更方便准确地写出不连续点的集合需要满足的条件， 19世纪70年代， 康托尔提出了聚点、导集、开集、 闭集 等概念，为一般拓扑学的发展奠定了基础。
真正有意识的研究是从 德国 数学家 伯恩哈德·黎曼 （Riemann）开始的，黎曼在 复分析 中关于函数论方面的研究体现着拓扑的思想，他的工作对后来的 拓扑学 甚至整个数学都产生了极为重要且深远的影响。1895-1905年间， 亨利·庞加莱 （Poincare）在《位置分析》下发表了一组论文，开创了现代意义下拓扑学的研究。 1930年， 所罗门·莱夫谢茨 （Lefschetz）第一个将拓扑学（Topology）一词用作他的书名。
提出与发展
基于之前的发展，20世纪，拓扑空间的定义逐渐明确起来。1906年，弗雷歇（Frecher）用收敛序列定义了一种空间，1907年， 里斯 （Riesz）用聚点也定义了一种空间，他们引进的都是具有拓扑结构的抽象空间，但弗雷歇的定义过于狭窄，里斯的定义过于一般且比较复杂。直到1914年， 费利克斯·豪斯多夫 （Hausdorff）用 邻域 系提出了第一个令人满意的拓扑空间定义，他发展了1902年 戴维·希尔伯特 （Hilbert）用邻域给出平面和1913年 赫尔曼·外尔 （Weyl）用邻域给出 黎曼曲面 的思想，把这些概念一般化，并发展成有系统且详尽的一般理论，发展了一般拓扑学这一学科。后来， 穆尔 （Moore）于1916年用开集系、 库拉托夫斯基 （Kuratowski）于1922年用闭包 算子 分别提出另一种 公理系统 ，它们都是等价的。
相关概念
连续映射
定义
设 是拓扑空间 和 之间的映射， 。如果对于任意包含 的开集 ，总可以找到包含
的开集 使得 ，那么，就称映射 在点 处连续。进一步，若 在 上的每一点都连续，则称 是连续映射。
性质
连续映射可等价描述为： 设 是拓扑空间 和 之间的映射，则（1） 是连续映射；（2）对任意的开集
，它的逆像 都是 中的开集；（3）对任意的 闭集 ，它的逆像 都是 中的开集。
复合 映射 的连续性： 设 和 都是拓扑空间的连续映射，则它们的复合映射 还是连续的。
若映射 将 中的任意开（闭）集 都映为 中的开（闭）集 ，则称 为开（闭）映射，这是与连续性 对偶 的概念。一般情况下，连续 双射 的逆映射不是连续的，一个双射是开（闭）映射等价于它的逆映射是连续的。
特别地， 如果存在一个 到上的 映射 ，使得 和 都是连续的，则两个拓扑空间 和
举例
例1： 设 为距离空间， 为 的全体开 子集 之集，则 为 上的一个拓扑，称为由距离 诱导的拓扑。
例2： 设 为任意非 空集 ， 为 的一切子集之集，则 为 上的拓扑。在这个拓扑下， 的 任一 子集既是开集又是 闭集 ，称这个拓扑为离散拓扑。
例3： 设 ，则 为 上的拓扑，称为 上的平凡拓扑。
例4： 设 ，令 ，则 为 上的拓扑。
生成拓扑空间
子空间
设 是一个拓扑空间。若 是 的 子集 ，则集数 构成 的一个拓扑，称为诱导拓扑。此时 称为 的拓扑子空间。
在此拓扑下，含入 映射 是连续的， 是使得 连续的“最粗”（开集最少）的拓扑。当涉及 子空间 时，“开集”和“ 闭集 ”的概念依赖其所在的外围空间。
设 是 的子空间，若 且 是子空间 中的开（闭）集，则称 是 的子空间 中的开（闭）集。可以证明， 是 的子空间 中的开（闭）集当且仅当 是 中的某个开（闭）集与 的 交集 。但 不一定是
中的开（闭）集。
乘积空间
如果 和 是两个拓扑空间，那么集合 的 子集 构成的 幂集 是
的一个拓扑基。
定义 上的乘积拓扑 为 生成的拓扑，在此拓扑下， 称为乘积拓扑空间。
商空间
假定在抽象集合 中，某些元素 之间定义了一种关系 。如果满足（1） 反身性 ：对任意 ，
；（2）对称性：若 ，则 ；（3）传递性：若 ， ，则 ，则称这一关系是等价的。
集合 称为 关于 等价关系 的商集合。设 是一个拓扑空间，在集合 中定义等价关系 ，在商集合
中可以引进自然的拓扑：由元素 组成的 子集 是开集，当且仅当这些集合 的并 作为 的子集是空间 中的开集（包含 空集 ）。 中这 一开 幂集 是一个拓扑，记为 。
性质
分离性
1. 空间： 若拓扑空间 中任意两点 中一点的 邻域 不包含另一点，则称 为 空间。
2. 空间： 若 中任意两点 具有不包含另一点的邻域 ，则称 为 空间。
3. 空间： 若 的邻域 使 ，则称 为 空间或豪斯多夫空间。
4.正则空间： 若对 中任一 闭集 和 ，存在开集 ，使 ， ， ，则称 为正则空间。
5. 空间： 正则的 空间称为 空间。
6.正规空间： 若对 中任何一对不 相交 的闭集 和 ，存在两个开集 和 ，使 ， 且
，则称 为正规空间。
7. 空间 ：正规的 空间称为 空间。
8.分离程度： 空间必是 空间，又必是正规空间； 空间必是 空间，又必是正则空间； 空间必是 空间；
空间必是 空间。正规空间和正则空间不能比较分离性强弱，也不能与 空间、 空间和 空间比较。
连通性
定义： 若拓扑空间 存在两个不相交的非空开子集 和 满足 ，则称 是不 连通 的。此时， 和 称为 的一个分割。若不存在这样的分割，则称 是连通的。如果 的 子空间 在诱导拓扑下是连通的，就称 是
的连通子空间或连通 子集 。
拓扑空间的连通性可等价描述为： 空间 是连通的当且仅当 中既开又闭的子集只有 和 。
如果 是拓扑空间之间的连续 映射 ， 是 的连通子空间，那么 是 中的连通子空间。
充分条件： 若 是拓扑空间 的连通子集，则 中满足 的子集 也是连通的。特别地，设 是拓扑空间， 是 的一族 连通 子集 ，若 非空，则它们的 并集 也是连通的；若 和 是连通的拓扑空间，则在乘积拓扑下 也是连通的。
紧性
定义： 设 是一个拓扑空间， 是 的 子集 ， 是 的子集构成的 幂集 ，若 ，则称
是 的一个覆盖；若每个集合 都是开集，则称 是开覆盖；若 也是 的覆盖且 ，则称 是
的子覆盖。进一步，若 是有限集，则称 是 的有限子覆盖；若 是 可数集 ，则称 是 的可数子覆盖。 若拓扑空间 的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称 是紧的。
拓扑空间的 紧性 可等价描述为：
1. 具有有限交性质的 闭集 族有非空交。
2. 具有有限交性质的 幂集 其各成员之闭包的交非空。
3. 任意网有聚点。
4. 任意滤 子有 聚点。
5. 任意极大滤子是收敛滤子。
性质：
1. 紧拓扑空间的闭 子集 是紧的；豪斯多夫空间中的紧子集是闭集。
2. 有限个紧拓扑空间的乘积空间在乘积拓扑下也是紧的。
常见类型
线性空间
设 是 数域 上的线性空间， 是 上的拓扑，如果满足：（1）加法是 的连续 映射 ；（2）数乘是
的连续映射，则称 为线性拓扑空间，称 为 上的线性拓扑。
欧几里得空间
设 为线性空间，根据一定规律，可以对于 内每两个 向量 及 确定一个 实数 ，叫做矢量 及 的数积，用
来表示。如果这个规律满足（1） 交换律 ： ；（2） 分配律 ： ；（3）对于任何实数 ， ；（4）当 时， ，而当 时 ，则称 为欧几里得空间。
度量空间
设 为一非空集合。对于 中的任意两个元素 ，都有一个确定的 实数 ，记为 ，与它们对应且满足（1）正定性： ， 当且仅当 ；（2）对称性： ；（3）三角 不等式 性：
，对任意 成立。称 是 上的一个距离， 为 与 的距离，称 是以
为距离的度量空间，记为 。此时 中的元素又称为点。在不引起混淆的情况下，一般 简记为 。
巴拿赫空间
设 是实数域上的 向量空间 ， 是 上的实函数且满足 ：（1）正定性： ，且 当且仅当 是零元素；（2）齐性： ， ；（3）三角 不等式 ： ，则称 是
上的 范数 ， 为赋范 向量空间 。通常把范数 记为 。如果赋范线性空间 依距离
， 所构成的度量空间完备，则称 为 巴拿赫空间 。
特别地， 如果 内积空间 中所有的柯西列都收敛，则称此空间是完备的。完备的内积空间称为 希尔伯特空间 。等价地说，一个巴拿赫空间 称为希尔伯特空间，如果在 上存在一个 点积 ，使得 上的 范数 正好是由关系式
定义的范数。
柯西空间
函数空间 拓扑：设 为一个函数族，其中的每一个函数从集 到拓扑空间 ，则 包含在乘积
内。 的点式收敛拓扑 是指相对乘积拓扑，于是网 收敛于 当且仅当对 中的每一个 有
收敛于 。该拓扑上的空间为 函数空间 ，也叫 奥古斯丁-路易·柯西 空间。
推广
模糊拓扑空间
设 为非空集合， 。 称为 上的 拓扑，如果满足条件：（1） ；（2）若
， ；（3）若 ， ，则 。此时，称 为 拓扑空间。
未确知拓扑空间
设 的未确知 子集 族 满足：（1） ；（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 。此时，称 为 的未确知拓扑，且称 为未确知拓扑空间。在模糊拓扑空间和一般拓扑空间中，同样可定义开集、 闭集 的概念。
三者关系
1. 设 为未确知拓扑空间，若 的所有未确知 子集 的隶属函数 的取值为 内的 实数 ，则 的未确知子集变为模糊 子集 ，因此未确知拓扑空间可变为模糊拓扑空间。
2. 设 为未确知拓扑空间，若 的所有未确知子集 的隶属函数 取值为 和 ，则 的未确知子集 变为 康托尔 子集，即 变为一般拓扑空间。
因此，一般拓扑空间和模糊拓扑空间为未确知拓扑空间的特例，而未确知拓扑空间为一般拓扑空间和模糊拓扑空间的推广。故
。
应用
工程学
车身结构设计
汽车实际行驶是个受载复杂多变的综合情况，在车身结构 概念设计 阶段既要考虑单一工况的拓扑优化设计，又要进行综合工况的拓扑优化设计。对车身结构进行拓扑优化时，通常将车身 面的包络空间用作拓扑优化的初始空间，然后剔除乘员所占空间、底盘所占空间以及 动力系统 所占空间，从而得到期望的拓扑空间。
空间太阳能电站热设计
基于拓扑优化，联合 流体 出口边界与流道构型，可以建立最小化表面平均温度和流道压力损失的优化模型，得到陀螺馈源 光伏 阵上背板流道最优的出口位置与最佳拓扑构型，使馈源中的热量导出效率明显提高。然后，建立仿 凤蝶总科 翅膀形状与结构的对 自由空间 辐射散热的布局与拓扑优化模型，在满足性态前提下显著提升辐射效率。
测绘学
拓扑研究几何对象在弯曲或拉伸等变换下仍保持不变的性质， 空间关系 是空间物体之间由空间物体的几何特性（位置、形状）所决定的关系。拓扑关系是空间关系中的一种，在 GIS 中，拓扑关系反映了空间实体之间不随实体的连续变形而改变的与量度和方向无关的一种空间关系。ArcGIS中的拓扑定义了点、线和 多边形 要素如何共享共同 几何图形 ，以及参与拓扑的要素类的完整性规则和拓扑行为，这使得拓扑在空间数据质量检查方面具有突出的优势，为地理 国情 数据中的空间数据部分的检查提供了技术支撑。