不可数集（uncountable set）是不可数的无限集合。
19世纪初期，数学界对 数学分析 的批判运动促进了集合论的诞生。1873年12月7日， 格奥尔格·康托尔 （Georg Cantor）在给尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。从1878年开始， 格奥尔格·康托尔 把势（基数）定义为 等势 集合的共同属性，并用 表示 自然数 集的势，用 表示实数集的势并提出了著名的 连续统假设 。1883年，他证明了 康托尔定理 ：任何一个集合的势都小于它的 幂集 的势。
不可数集合与自然数集合之间不存在一一对应的映射。 自然数的所有 子集 的集合是不可数的。 不可数集有交、并、差、补等运算，满足集合的基本运算性质，如 交换律 、 结合律 等。
不可数集可应用在 数学分析 、概率论、计算机、物理等领域。概率的概念是建立在不可数集合上的。 输入信号总可以分解成随机序列，随机序列中的每个符号的取值可以是取自连续的可数集，也可以取自连续的不可数集。
定义
有限集合与无限集合
若集合 只有有限个元素，称集合 是有限集合。 若集合 不是有限的，称集合 是无限的或者无穷的。
可数无限集合与可数集合
若集合 与 自然数 集 等势 ，称集合 是一个可数无限集合。若集合 是有限的或是可数无限的，称集合 是可数的。
不可数集
定义1
一个无限集如果不是可数的，称为不可数集。
定义2
如果不存在从集合 到正整数集 的 单射 ，称集合 是不可数集。
定义3
若集合 的基数既不是有限的，又不等于 ，称集合 是不可数集。 其中 （读作“阿列夫零”）表示可数集或自然数集的基数。
定义4
若集合 的基数严格大于 ，称集合 是不可数集。
概念
基数与等势
定义1
对于有限集合 ，称 的元素个数为集合 的基数（cardinal）或阶（order），记为 ， 或 。除此之外约定 。对于无限集合 ，形式地记 。
定义2
已知集合 、 ，若存在双射 ，则称 、 是 等势 的或有相同的基数。记作 或 或 。
自然数基数
自然数集 的基数记作 。
连续统基数
实数集 以及与 对等的一直线上所有点组成的点集的基数记为 。
简史
集合的思想可以追溯到古希腊的 原子论 学派，他们把直线看做一些原子的排列。19世纪初期，数学界对 数学分析 的批判运动促进了集合论的诞生。1851年， 波尔查诺 （Bolzano.B）发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。
1870年 格奥尔格·康托尔 （Cantor.G.F.B）在1871年至1872年的论文中明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由 实数 构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给 戴德金 （Dederkind.J.W.R）中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。康托尔在1874年提出了集合的定义。在集合概念产生后，进一步定义了集合的 子集 、 交集 。 并集 、映射等系列概念。
从1878年开始， 格奥尔格·康托尔 把势（基数）定义为 等势 集合的共同属性，并用 表示 自然数 集的势，用 表示实数集的势并提出了著名的 连续统假设 。1883年，他证明了 康托尔定理 ：任何一个集合的势都小于它的 幂集 的势。从1883年起， 格奥尔格·康托尔 研究有序集，利用良序概念建立 序数 理论，把 数学归纳法 推广为更一般的超限归纳法。1895年，在康托尔发表的题为《关于超穷集合论的基础》的论文中，给出了超限基数和超限序数的定义，引进了符号，并把它们按序型的大小排成序列，定义了基数和序数的加法、乘法和乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。
类型
正整数列集合
定理 1： 设 是一切无限正整数列所成的集合，则 不可数。
证明： 用反证法。假设 可数，则 的所有元素可以排成如下的一个序列，记为序列(1)：
把每个数列列出来构成一个表：
其中 且当 时 与 不全相同。作一个正整数列： 那么必是序列(1)中的某一项，设 ，由数列 相等 的意义，有 其中等式 显然是矛盾的，所以 为可数集的假设不能成立。故 为不可数集。
实数集
证明： 因为 ，令 若能证 是不可数集，则 也为不可数集。下面用反证法证明
假设 是可数的，则 必可表示为 ,其中 是 间的任一实数。
设 其中 （如0.2和0.123可记为0.1999…和0.12299…），设
其次，构造一个 实数 使
这样 与所有实数 不同，因为它与 在位置1不同，与 在位置2不同等等。这证明了 ，产生矛盾，因此 是不可数的，即 是不可数集。
无理数集
证明： 设 为 有理数 集， 为无理数集，因 ， 可数，如 也可数，将会得到 可数的结论，与 不可数矛盾。故 必不可数。
运算
交、并
已知集合 、 ，定义交、并分别为
差、补
已知集合 、 ，定义差集为
特别地，若有一个默认的 全集 ，记 ，称为 的 补集 ，也记作 。
运算性质
在全集 下， ，集合的交、并、补具有如下性质：
（1） ; （ 交换律 ）
（2） ; （ 结合律 ）
（3） ; （幂等律）
（4） ; （吸收律）
（5） ; （ 分配律 ）
（6） ； （零律）
（7） ; （幺律）
（8） ; （补律）
（9） （逆律）
（10） ； （De Morgan 律）
推广
集合的广义并
集合的并是并概念的推广。设是标号集，为集族，是到的一一对应，且由集族 中的集合的元素组成的集合 称为族中集合的广义 并集 ，记为 用符号表述为：
集合的广义交
集合的广义交是交概念的推广。设 是标号集， 为集族， 是 到 的一一对应，且 由属于族 中的每个集合的元素组成的集合 称为族中集合的广义 交集 ，记为 用符号表述为：
相关定理
（1）（Cantor-Bernstein定理）若 与 的一个 子集 对等，而 与 的一个子集对等，则 与 对等。
（2）如果不可数集 是集合 的子集，则集合 是不可数集。
（3） 自然数 的所有子集的集合是不可数的，且 。
证明 ：由 定义的函数 是 的，所以 。可以证明对 的子集的每个序列 存在某个 使得对所有 。这表明了不存在从 到 上的映射，因此 。
定义集合 如下： 。数 用来从 区分 ：如果 ，那么 ，并且如果 ，那么 。不管哪种情况，都有 。
（4）对每个集合 ，有 。
（5）对每个集合 ，有 。
（6）
应用
数学
数学分析
实数 集合是最常见的不可数集合之一。实数集合在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用，例如在研究函数的连续性、极限、积分等方面。
概率论
在概率论和统计学中，不可数集合的概念被应用于概率的定义，以及描述连续 随机变量 的 概率分布 ，如正态分布等。
测度论
在测度论中，不可数集合的概念被用于描述 测度 空间和测度理论。测度论是实分析和概率论的重要基础，不可数集合的性质对于研究可测函数、测度空间、Lebesgue积分等有着重要的作用。
计算机
在信息论中，输入信号总可以分解成随机序列，随机序列中的每个符号的取值可以是取自连续的可数集，也可以取自连续的不可数集。
物理
不可数集在物理中也有一定的应用，如动力系统中的不变集 。不变集 包括非周期运动的不可数集。 在混沌的定义中，也利用了不可数集的性质。