在数学中，双曲函数是初等函数之一，与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似。 最基本的双曲函数是双曲 正弦 函数sinh和双曲 余弦 函数cosh，从它们可以导出双曲 正切 函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的 反函数 称为 反双曲函数 。
双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的 线性微分方程 的解中，譬如说定义 悬链线 和 拉普拉斯方程 。
定义
双曲函数与三角函数类似。而三角函数也称为圆函数，是因为三角函数的值是通过在圆心为原点的单位圆上的坐标定义的。
一般角的大小定义为角对应的 弧长 比上半径的值（弧度的定义），但使用 双曲线 上某段弧定义双曲角较为复杂。根据 扇形 面积公式发现一个角的弧度等于这个角对应的扇形面积的2倍。
双曲角是通过面积定义的：连接原点和双曲线 右支上某点 的 线段 和x轴上原点到点 之间的线段，以及点 到点 之间的双曲线弧段所围成的图形的面积的二倍，即为上述两个直线段间所夹双曲角的大小，当 时，对应的双曲角是 负数 。右图中的双曲线就是双曲线 ，黑色部分面积的2倍对应着双曲角的大小。
双曲角的大小即双曲函数的自变量。若设这个自变量为 ，则各个双曲函数的定义是：
双曲 正弦 ： ，函数名读作/sintʃ/
双曲 余弦 ： ，函数名读作/kɔʃ/
双曲 正切 ： ，函数名读作/tæntʃ/
双曲 余切 ： ，函数名读作/kɔθ/
双曲正割： ，函数名读作/setʃ/
双曲余割： ，函数名读作/'kɔsetʃ/
按照双曲角的定义，这里可以用定积分计算 与 的关系。由于双曲函数是通过 双曲线 的右支来定义的，所以这里有 且
根据双曲角的定义，得
可以证明
所以
所以双曲角和 双曲线 上点的坐标的关系是
根据 和 平方差公式 ，得
所以
根据这一计算结果，可以得出所有双曲函数的表达式
其中， 是自然 底数 ， ， 表示 的 次幂，展开成无穷幂 级数 是： ， 表示以 为底的 对数 ，被称作 自然对数 。
介绍
双曲函数出现于某些重要的 线性微分方程 的解中，譬如说定义 悬链线 和 拉普拉斯方程 。
如同 参数方程 表示圆心在原点处的单位圆，即圆 ，参数方程 表示中心在原点处，两焦点在 轴上的一个等轴 双曲线 的右支，因而有 ．
函数coshx是关于y轴对称的 偶函数 。
函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh(-x)且sinh0=0。
实变双曲函数
y=sh(x).定义域：R. 值域 ：R.奇函数。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ 象限 的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大。函数图像关于原点对称。
y=ch(x).定义域：R.值域：[1,+∞）.偶函数。函数图像是 悬链线 ，最低点是（0,1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大。函数图像关于y轴对称。
y=th(x).定义域：R.值域：（-1,1）. 奇函数 。函数图像为过原点并且穿越Ⅰ，Ⅲ象限的严格单调递增曲线。其图像被限制在两 渐近线 y=1和y=-1之间.lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
y=cth(x).定义域：{x|x≠0}. 值域 ：{x||x|>1}.奇函数。两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞，coth(x)=1],lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
y=sch(x).定义域：R.值域：（0,1]. 偶函数 。最高点是（0,1），函数在（0,+∞）严格单调递减.x轴是其 渐近线 lim[x->；∞，sech(x)]=0.
y=xh(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数。函数图像分为两支，分别在Ⅰ，Ⅲ 象限 ，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减。垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->；∞，csch(x)]=0.
双曲函数名称的变更：sh也叫sinh,ch也叫cosh,th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫 csc h。
双曲 正弦 ：sh(z)=[e^z-e^(-z)]/2
双曲 余弦 ：ch(z)=[e^z+e^(-z)]/2
解析性：shz,chz是全平面的 解析函数
周期性 ：shz,chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质
反双曲函数
反双曲函数 是双曲函数的 反函数 。根据通过双曲角的定义得出的双曲角大小与 双曲线 右支上的点的坐标关系 ，可得
与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系：
其中， 为 虚数单位 ，即
恒等式
与双曲函数有关的 恒等式 如下：
ch^2(x)-sh^2(x)=1
cth^2(x)-xh^2(x)=1
th^2(x)+sch^2(x)=1
加法公式
sinh(x+y)=sinh(x)* cos h(y)+cosh(x)*sinh(y)
cosh(x+y)=cosh(x)*cosh(y)+sinh(x)*sinh(y)
tanh(x+y)=[tanh(x)+tanh(y)]/[1+tanh(x)*tanh(y)]
coth(x+y)=（1+coth(x)*coth(y))/(coth(x)+coth(y))
减法公式
sinh(x-y)=sinh(x)*cosh(y)-cosh(x)*sinh(y)
cosh(x-y)=cosh(x)*cosh(y)-sinh(x)*sinh(y)
tanh(x-y)=[tanh(x)-tanh(y)]/[1-tanh(x)*tanh(y)]
coth(x-y)=（1-coth(x)*coth(y))/(coth(x)-coth(y))
二倍角公式
sinh（2x)=2*sinh(x)*cosh(x)
cosh（2x)=cosh^2(x)+sinh^2(x)=2*cosh^2(x)-1=2*sinh^2(x)+1
tanh（2x)=2tanh(x)/（1+tanh^2(x))
coth（2x)=（1+coth^2(x))/2coth(x)
三倍角公式
sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh^3(x)
cosh（3x)=4cosh^3(x)-3cosh(x)
半角公式
cosh^2(x/2）=(cosh(x)+1）/2
sinh^2(x/2）=(cosh(x)-1）/2
tanh(x/2）=(cosh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1）
coth(x/2）=sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)
德 莫佛公式
（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)
双曲函数的 恒等式 都在圆 三角函数 有相应的公式。Osborn'srule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x)*sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的 双曲函数恒等式 。如
三倍角公式
sin（3*x)=3*sin(x)+4*sin^3(x)
sinh（3*x)=3*sinh(x)+4*sinh^3(x)
导数
（sinh(x))'=cosh(x)
（cosh(x))'=sinh(x)
（tanh(x))'=sech^2(x)
（coth(x))'=-csch^2(x)
（sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
（csch(x))'=-csch(x)coth(x)
（arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）
（arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1）(x>1）
（arctanh(x))'=1/（1-x^2）(|x|<1）
（arccoth(x))'=1/（1-x^2）(|x|>1）
不定积分
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tan(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2
∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c
∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c
∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c
（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
级数表示
sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^（2k-1）/（2k-1）！+...(z∈C)
cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^（2k)/（2k)!+...(z∈C)
arcsinh(z)=z-（1/6）z^3+（3/40）z^5-（5/112）z^7+...+(-1）^k[（2k-1）！！/（2k)!!][z^（2k+1）/（2k+1）]+...(|z|<1）
arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^（2k-1）/（2k-1）+...(|z|<1）
实际应用
双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
阻尼落体
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v， 重力加速度 为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。
解：
小石块遵循的 运动方程 为
mdv/dt=mg―μv2⑻
这是Riccati 方程 ，它可以精确求解。
依标准变换方式，设
v=（m/μ）（z′/z）⑼
代入⑻式，再作化简，有
z''―（gμ/m)z=0⑽
⑽式的通解是
z=C1exp（√gμ/mt）+ C2 exp（－√gμ/mt）⑾
其中，C1和C2是任意 常数 。
由于小石块在初始时刻是静止的， 初始条件 为
v（0）=0⑿
这等价于
z′（0）=0⒀
因此，容易定出
C2=－C1⒁
将⒁式代入⑾式，再将⑾式代入⑼式，就可得
满足初始条件的解
v=√mg/μ tanh（√μg/m t)⒂
我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的 自由落体 运动情况相类似，小石块加速度几乎是 常数 。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
导线电容
真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和 R2 ，中心线相距为d(d>R1+R2）。试求它们间单位长度的 电容 。
解：
设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。
我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：
由于在 静电平衡 情况时，导线是 等势 体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电 导线 的电像。于是就可以计算 电势 ，从而求出 电容 来。为此先求偶极线的等势面。
以偶极线所在的平面为z-x平面，取 勒内·笛卡尔 坐标系 ，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为
φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）In（r1′/r1）+（―λ/2πε0）In（ r2 ′/r2）
=（λ/2πε0）In[（r2/r1）（r1′/r2′）]⒃
y
P
R2―λ+λR1x
O
aa
A2 a1
图2：带电 导线 与其镜像
式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个 电势 参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′=a，于是，⒃式便化为
φ=（λ/2πε0）In（r2/r1）⒄
由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是
φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2]/[（x2―a2）+y2]}⒅
故偶极线的等势面 方程 便为
[（x2+a2）+y2]/[（x2―a2）+y2]=k2⒆
式中
k2 =e4πε0φ/λ⒇
令
c=[（k2+1）/（k2―1）]a（21）
则⒆式可化为
（x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2] a2 （22）
这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为
R=∣2k/（k2―1）∣a（23）
这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两 导线 的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：
a1=∣c1∣=[（ k12 +1）/（k12―1）]a（24）
R1=∣2k1/（k12―1）∣a（25）
a2=∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a（26）
R2=∣2k2/（k22―1）∣a（27）
d=a1+ a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12= a2 =a22― R22 （29）
原来两导线表面的 方程 是
R1：（x―a1）2+y2=R12（30）
R2：（x+a2）2+y2=R22（31）
利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为
x2+y2+a2=2a1x（32）
x2+y2+a2=―2a2x（33）
利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和 R2-D2 的两 导线 的 电势 分别为
φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/（a1―a）]（34）
φ2=―（λ/4πε0）In[（ a2 +a）/（a2―a）]（35）
于是两导线的 电压 便为
U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/R1 R2 ]（36）
用已知的量消去未知数，可以得出
U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/2R1R2+√[（d2―R12―R2）/2R1R2]2―1]（37）
最后得出原来两 导线 为l一段的 电容 为
C=Q/U=2πε0l/In[（d2―R12―R22）/2R1R2+√[（d2―R12― R2 2）/2R1R2]2―1]（38）
单位长度的电容为
c=2πε0/In[（d2―R12―R22）/2R1R2+√[（d2―R12― R2 2）/2R1R2]2―1]（39）
利用反两曲 余弦 关系式
archx=In[（x+√x2―1）]（40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch [（d2―R12―R22）/2R1R2]（41）
最后一式可以在一般手册上查到。
粒子运动
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀 电场 E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1]（42）
式中p0是粒子出发时 动量 的值，W0是它出发时的能量。
解：
带有电荷量q的粒子在 电磁场 E和B中的 相对论 性的 运动方程 为
dp/dt=q（E+v×B）（43）
式中v是粒子的速度，p是粒子的动量
p=mv=mv0/√1－v2/c2（44）
本题运动方程的分量表示式为
dpx=qE
dpy=0
dpz=0（45）
解之，有
px=qEt+C1
py=C2
pz= C3 （46）
代入t=0时 初始条件
px（0）=0
py（0）=p0
pz（0）=0（47）
定出积分常数后，可知
px=qEt
py=p0
pz=0（48）
粒子的能量为
W=m C2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+py2+pz2）c2+m02c4
=√q2E2c2t2+W02（49）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2c2t2+W02（50）
积分得
x=∫[qEc2t/√q2E2c2t2+W02]dt
=[√q2E2c2t2+W02－W02]/qE（51）
又由（48）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2c2t2+W02（52）
积分得
y=∫[p0c2/√q2E2c2t2+W02]dt
=（p0c/qE）arsh（qEct/W0）（53）
或（qEct/W0）=sinh（qEy/p0c）（54）
在（51）式和（54）式 消中 去t，有
x=（W0/qE）[√1+sinh2（qEy/p0c）－1]（55）
利用恒等变换公式
cosh2x―sinh2x=1（56）
（55）式可以写成
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）－1]（57）
（57）式是一种 悬链线 。
图3：匀强 电场 中粒子的悬链线运动轨迹
讨论：
因双曲余弦泰勒级数展开式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+……（58）
当v/c→0时，保留前2项，得
x=（qE/2mv02）y2（59）
（59）式是 抛物线 轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非 相对论 确是相对论在v/c→0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c<<1，这也是牛顿力学的适用范围。
非线性方程
如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为
ux+uux+βuxxx=0（60）
它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。
解：
考虑其行波解
u（x，t）=φ（ξ）（61）
其中，
ξ=kx－ωt+ξ0（62）
KdV方程成为
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0（63）
记
f=1/（coshξ+r），g=sinhξ/（coshξ+r）（64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g（65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2（66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得 方程 中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+a1）=0,
－k（－6βk2ra1+a12－b12+b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1r－7βk3r2+cr2－c）=0,
ωa1+kb12r－βk3a1－ka0a1=0,
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0（67）
用计算机代数系统 maple 对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0（68）
其中，k、ω、ξ0为任意 常数 。
（68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6k2，ω=βk3）。
图4：KdV 方程 的孤波解
从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。
悬链线
形如y=acosh(x/a)(a为常数）的函数的图象又叫悬链线，可以由柔软的绳子得到，有点象 抛物线 ，但其实两者差距很大。据说莱布尼兹（Leibniz）于1690年最先解出悬链线方程， 克里斯蒂安·惠更斯 （Huygens）和伯努利兄弟（JacobBernoulli,JohannBernoulli）随其后.惠更斯在1691年把悬链线命名为catenary.悬链线与抛物线有这样的关系：悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹。 悬链线 的顶点的渐开线是 曳物线 （tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线，悬链线绕准线旋转形成的 曲面 叫做悬链面.
数学证明
设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m，受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H；利用 弧长 公式ds=√（1+dy^2/dx^2）*dx；所以s=∫√（1+dy^2/dx^2）*dx;所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√（1+dy^2/dx^2）*dx/H;.....⑴对于⑴设p=dy/dx微分处理得p'=ρ/H*√（1+p^2）......⑵p'=dp/dx;对⑵分离常量求积分∫dp/√（1+p^2）=∫ρ/H*dx得ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲 正弦 ）=ρx/H+C当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H另祥解：（ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H）；p=sh（ρx/H)（1+p^2=e^（2ρx/H)-2pe^（ρx/H)+p^2）；（p=[e^（ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx）；y=ch（ρx/H)*H/ρ（y=H/（2ρ）*[e^（ρx/H)+e^(-ρx/H)]）；令a=H/ρ：y=a*cosh(x/a)（y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/⑵=a*cosh(x/a））。