“庞加莱群”是 天文学 专有名词，同时在物理学与数学中也具有重要意义。它是 狭义相对论 中 赫尔曼·闵可夫斯基 时空的 等距同构 群，由赫尔曼·闵可夫斯基引进，以 法国 数学家 亨利·庞加莱 命名。庞加莱群是一种有10个生成元的非阿贝尔群，在物理学上扮演着基础级别的重要角色。
基本解释
等距同构是一种事物在事件间的时空轨迹上的移动方式，而这样做是不会影响原时的。例如，所有事件被延后了两小时，而这两小时中包括了两项事件，以及你从事件一到事件二的路径，那么你的 计时器 所量度出的，两事件间的时间间距会是一样的。又例如，所有事物被移到西边五公里外的地方，那么你所量度出的时间间距也不会改变。而这种移动的结果是不会影响棍子长度的。
如果我们无视重力效应的话，那么一共有十种移动方式：在时间上的平移，在 三维空间 中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性 洛伦兹变换 ，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。
如果将这种 等距同构 结合起来（即执行一个之后再执行另一个），那么所得的结果也会是等距同构（然而，这一般来说只限于上述十种基本移动之间的 线性组合 ）。这些等距同构因此形成了一个群。也就是说，它们当中存在 单位元 （即不移动，停留在原先的地方）及逆元（将事物移动回原先的位置），同时亦遵守 结合律 。这种特定群的名字叫做“庞加莱群”。
在古典物理学中，对应庞加莱群的群叫伽利略群，也是有十个生成元的，伽利略群作用于 绝对时空 。而在 伽利略·伽利莱 群中取代直线性 洛伦兹变换 的是，联系两个共动惯性参考系的 错切 变换。
庞加莱群的物理学与数学意义
庞加莱群是 赫尔曼·闵可夫斯基 时空的 等距同构 群，它是一种十维的非紧李群。在物理学中，庞加莱群是任何 相对论 性量子场的完全 对称群 ，所有 基本粒子 都能成为这个群表示的一部分。庞加莱群的正能量幺正不可约表示与 量子力学 的粒子有关，由质量（非负数）与 自旋 （整数或 半整数 ）所标记。
庞加莱群的结构包括平移的阿贝尔群作为一个 正规子群 ， 亨德里克·洛伦兹 群作为一个子群，原点的 稳定子群 。庞加莱群本身是仿射群的最小子群，包括了所有的变换与 洛伦兹变换 。庞加莱群可以视为洛伦兹群的群扩张，而扩张的部分则是它的 向量 群表示，有时也被称为“非均匀洛伦兹群”。
亨利·庞加莱 群的 李代数 ，即庞加莱代数，通过平移生成元P和洛伦兹变换生成元M，以及 赫尔曼·闵可夫斯基 度规η定义了一系列的交换关系。庞加莱代数的卡西米尔不变量有助于标记群表示，对于理解粒子的性质至关重要。
庞加莱对称与相对论性不变性
庞加莱对称是 狭义相对论 的完全对称，包括时间与空间中的平移（P）、空间中的旋转（J）和直线性 洛伦兹变换 （K）。这些对称性的生成元组合起来形成了庞加莱群，它是平移群与 亨德里克·洛伦兹 群的 半直积 。在庞加莱群下不变的 物理量 具有庞加莱不变性或相对论性不变性。
与 爱尔兰根纲领 一致， 赫尔曼·闵可夫斯基 空间的几何由庞加莱群所规定。作为 拓扑空间 ，庞加莱群共有四个连通区：单位区、时间反转区、空间颠倒区、以及同时出现时间反转与空间颠倒的区。这些连通区的存在对于理解庞加莱群的结构和表示具有重要意义。
与古典物理学的关系
在古典物理学中，对应庞加莱群的群是伽利略群，它也是有十个生成元的，作用于 绝对时空 。 伽利略·伽利莱 群中的直线性 洛伦兹变换 被 错切 变换所取代，这反映了非 相对论 性物理学中的时空观念。庞加莱群的出现标志着从伽利略对称性到相对论性对称性的转变，为理解现代物理学中的时空提供了关键的数学工具。