不确定性原理（Uncertainty principle），又称“测不准原理”“不确定关系”“海森堡不确定性原理”等，是量子力学的一个基本原理，由物理学家海森堡（Heisenberg）于1927年提出。 该原理主要指在确定微观粒子位置与 动量 时，位置的测量越精确，动量的测量就越不精确，反之亦然。起初， 海森伯格 在论文中得出了不确定性原理的粗略计算公式，后续由厄尔·黑塞·肯纳德（Earle Hesse Kennard）与赫尔曼·韦尔（Hermann Klaus Hugo Weyl）于1928年提出了其确切的公式即 （ ）。
不确定性原理与观察者效应时常会被混淆。观察者效应是指对于系统的测量不可避免地会影响到该系统。 为了解释量子不确定性， 海森伯格 的表述所用的则是量子层级的观察者效应，测量不是只有实验观察者参与的过程，而是经典物体与量子物体之间的相互作用，实际上的不确定性原理说的就是不确定性是粒子的内在属性，不管你测不测量，它的位置和 动量 都不可能同时确定。 类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、 角动量 和角度等 物理量 之间。
在实际应用中，海森堡不确定性原理也可以用于检验发生于 超导 系统或 量子光学 系统的“数字－ 相位 不确定性原理 ”。 此外，对于不确定性原理的相关研究可以用来发展 引力波 干涉仪 所需要的低噪声科技，它在量子精密测量、 量子通信 等 量子信息 处理中也起到关键的作用。
概述
针对在原子和亚原子粒子的微观尺度上， 海森伯格 提出了不确定性原理（也称测不准原理，1927年），其是指在一个量子力学系统中，一个运动粒子的位置和它的 动量 不可被同时确定，位置的不确定性 和动量的不确定性 是不可避免的，它们的乘积不小于 （ 为普朗克常数），即 （ ） 。在数学上，在波动力学中，位置和动量之间的不确定性关系之所以出现，是因为希尔伯特空间中两个相应的正交基中的 波函数 表达式是彼此的 傅里叶变换 （即位置和动量是 共轭 变量）。非零函数及其傅里叶变换不能同时进行峰位定位。在矩阵力学中，任何一对表示可观察的非交换自伴随算子都受到类似的不确定性限制。可观察对象的特征状态表示特定测量值（特征值）的波函数状态。 即：位置的测量越精确， 动量 的测量就越不精确，反之亦然。在最极端的情况下，一个变量的绝对精度将导致另一个变量的绝对不精确。此外，不确定原理还涉及很多深刻的哲学问题，用 海森伯格 自己的话说：“在因果律的陈述中，即“若确切地知道现在，就能预见未来”，所得出的并不是结论，而是前提。我们不能知道现在的所有细节，是一种原则性的事情。”这一论述揭示了不确定性原理不仅是微观世界的物理规律，更从根本上挑战了经典力学中“确定性因果律”的哲学预设，将人类对自然规律的认知推向了更深刻的层面。
发展历史
旧量子论到现代量子力学过渡
1925年7月， 海森堡 在论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations）里表述了矩阵力学（后来用希尔伯特空间上的算子来表示）。 从此旧量子论渐趋式微，现代量子力学的时代正式开启。矩阵力学大胆地假设，经典的运动概念不适用于量子层级，束缚在原子内部的电子并不具有明确定义的轨道，而是运动于模糊不清、无法观察到的轨道，其对于时间的傅立叶变换只涉及到因量子跃迁而产生的可以被观察到的 电磁辐射 的离散频率。
该研究始于1922年，当时海森堡德国 哥廷根市 参加 尼尔斯·玻尔 （Niels Bohr）的夏季讲座。在那里，他否认了克莱默关于氢原子的二次 斯塔克效应 的论文结果。 海森伯格 坚称这个结果因为依赖于经典的散射计算，是不可能正确的。直到1925年，海森堡意识到将经典 运动学 应用于不可观测的 原子 尺度量仍然会给出错误的答案。他开始相信，通往成功的 量子力学 的道路中需要拒绝任何不可观测的量，并创建一种“只发生可观测量之间的关系”的物理学。海森堡从实验得到的原子谱线分裂的 量子数 出发，发现了量子数的不对易性，引入矩阵运算实现量子化过程并依据 哈密顿 方程 创建 矩阵力学 。
7月9日， 海森堡 将他完成的论文寄给 沃尔夫冈·泡利 审阅，谨慎的提出了自己关于矩阵力学的观点。随后该工作迅速得到认可， 马克斯·玻恩 和其学生乔丹于1925年9月发表了论文，阐述了 海森堡 的数学运算原来就是他在学生时代学到的矩阵微积分。另外，在分别表示位置与 动量 的两个无限矩阵之间存在著一种很特别的关系──正则对易关系，以方程式表示为： 。 保罗·狄拉克 于1925年11月发表了论文，专注于 泊松括号 表达式。这些论文扩展了 海森堡 的 矩阵力学 ，以更好的数学形式表达了基本 量子力学 关系： 。
不确定性原理提出
1926年， 提出了量子力学的第二种形式一波 。同年夏，薛定谔又证明矩阵力学和 波动力学 的数学等价性。在波动力学中，体系的状态用 薛定谔方程 的解—— 波函数 来描述。
1925-1927年， 海森堡 对矩阵力学进行机理上的解释分析，在分析的过程中借助 物质波 的模型和结论提出不确定原理，再设计实验对不确定原理进行实验验证，最后发现根据不确定原理可以导出 量子数 的不对易性，从而指明不确定原理应该假设为一条自然定律，并以此作为量子论对经典概念进行批判的出发点。最后，在《论量子理论运动学与力学的物理内涵》论文中给出该原理的原本启发式论述。 在 海森堡 的不确定原理中，光的能量以小块的方式走过来， 测量过程 本身将不可避免地给我们要测量的物体造成一个显著的扰动。因此，在一个 量子力学 系统中，一个运动粒子的位置和它的 动量 不可被同时确定。
其中，1926年， 提出了量子力学的第二种形式一波 。同年夏，薛定谔又证明 矩阵力学 和 波动力学 的数学等价性。在波动力学中，体系的状态用 薛定谔方程 的解—— 波函数 来描述。
不确定性原理其本质还是 波粒二象性 ，不确定原理的推导利用了 路易·德布罗意 公式，而德布罗意公式也来自波粒二象性。因此，不确定原理和 德布罗意波 都可以认为是物体的 波粒二象性 的不同反映，它们从不同侧面对波粒二象性进行了阐释。
不确定性原理扩展
1927年，厄尔·肯纳德首先证明了现代 不等式 ， 其中， 是位置 标准差 ， 是 动量 标准差， 是约化普朗克常数。 1929年，霍华德·罗伯森推导出基于对易关系的不确定关系式。 2003年 名古屋大学 的 小泽正直 将传统 海森伯格 不等式得出的测量极限与位置和动量本身具有的 量子涨落 加以区分，推导出扩展版不等式（ ）。 同年 多伦多大学 的罗泽马团队在美国《物理评论通讯》上发表了“弱测量技术”相关内容，对不确定性原理进行了质疑与讨论。 9年后，小泽 不等式 通过 维也纳 工科大学长谷川花司的实验得到验证，已经被广为接受。
数学阐述
不确定原理（uncertainty principle），或称不确定关系（uncertainty relation）测不准原理、测不准关系，可以由 沃纳·卡尔·海森堡 的 矩阵力学 形式以及 埃尔温·薛定谔 的 波动力学 形式进行解释，二者在数学表示上只有形式不同，但表达含义相同，揭示了微观粒子运动的基本规律，是微观粒子 波粒二象性 的形象而定量的描述。
矩阵力学
位置和 动量 的不确定关系式
在 经典力学 中粒子（ 质点 ）的运动状态是用位置坐标和 动量 来描述的而且这两个量都可以同时准确地予以测定，这就是牛顿力学的确定性。因此，可以说同时准确地测定粒子（质点）在任意时刻的坐标和动量是经典力学以保持有效的关键。然而，对于具有二象性的 微观 粒子来说，不能同时确定坐标和动量，而只能说出其可能性或者概率。 此外，位置和 动量 的不确定关系也可以表述为顺序测量 不确定性原理 、联合测量不确定性原理以及制备不确定性原理，其中顺序测量不确定性原理指不可能在测量位置时完全不搅扰动量，反之亦然；联合测量不确定性原理指不可能对于位置与 动量 做联合测量，即同步地测量位置与动量，只能做近似联合测量；制备 不确定性原理 指不可能制备出 量子态 具有明确位置与明确 动量 的量子系统。
具体以 电子 通过单缝 衍射 为例。设有一束电子沿 轴射向屏 轴射向屏 的狭缝。于是，在照相底片 上，可以观察到如图所示的射 图样 。仍用坐标和动量来描述电子的运动状态，人射电子 方向无动量电子从缝的何处通过是不确定的，只知是在宽为 的缝中通过。显然，电子在 轴上的坐标的不确定范围是 。在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子 动量 的大小虽未变化，但动量的方向有了改变。由图可以看到，如果只考虑一级（ ） 衍射 图，则 电子 被限制在一级最小的衔射角范国内，有 。
根据动量 的分解，可知电子在方向上动量分量的大小将被限制在 的范围内，即电子动量沿 轴方向的分量的不确定范围是 ，即 ，考虑到 衍射 次极大 还要大一些，即 ，因此一般地有 。换言之，测量粒子位置的精度越高（ 越小）测量粒子 动量 的精确度就越低（ 越大）。而加大缝宽，减弱衍射，使粒子穿过狭缝而不偏离 单射 方向的同时，必然放弃了粒子位置的确定性。存在两种极端情况：如果粒子的位置 完全确定（ ），那么粒子动量分量 的数值就完全不确定（ ）；如果粒子动量分量 完全确定（ ），那么粒子位置的 坐标就完全不确定（ ）。这个关系不是对测量粒子位置 和粒子 动量 分量 的精确度加以约束，而是在同时测量两者时对乘积 施加限制。
能量和时间的不确定关系式
微观 粒子的行为在能量与时间上也体现出不确定关系。考虑对一个运动粒子能量进行测量所需的时间为 ，粒子的能量 与动量 的关系是 ，那么能量的不确定度 与动量不确定度 满足 ，而 时间粒子可能的位移正是这段时间粒子位置的不确定度 ，由 ，得 。
波动力学表示
由于微观粒子的 波粒二象性 ，经典粒子运动状态已不能用位置和 动量 来准确地描述，于是用 波函数 来描述波的行为， 因此， 马克斯·玻恩 （Born）对此提出 物质波 的统计性解释，认为大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律，将粒子的 波动性 和粒子性联系起来。
德布罗意波代表的是一列无穷长的 平面波 ，它有确定的能量和动量，但分布于全空间，即以它为波函数所描述的粒子处于空间坐标完全不确定的状态。按 经典力学 的眼光看来，这当然是很难理解的。如果你对用这种方式描述粒子不喜欢的话，我们可以把它换成有限长的波列。把无限长的波列压缩成有限长的波列，在 波函数 上乘一个在有限长范围内不为0的包络函数。这种包络函数可以有不同形式，如方垒型、指数型、高斯型等，但它们有个共性，即做 傅里叶分析 后， 频谱 宽度 和波列长度 的乘积都是一个数量级为1的 常数 。高斯型的函数有些优点，一是它的 傅里叶变换 式也是 高斯函数 ，二是能够作严格的微积分运算。因此，在 gaussian 型 波包 中来讨论不确定度关系。
高斯 型的波函数可写成 （1），式中归一化因子 ，时间振荡因子 在这里无关紧要，略去不写。将上式作傅里叶分解。按 德布罗意 关系，粒子的 动量 与 波矢 的关系为 ，故 傅里叶变换 也可用 来表达： （2），其中 （3）。其中，（2）式的物理意义是：有限长的波列（1）式可看作是波长为 、振幅为 的一系列单色波的叠加，所以它又叫做 波包 （wavepacket），计算给出 和 的 方差 ： ， 于是我们得到 。上式也就是 沃纳·卡尔·海森堡 不确定度关系式。它在 量子力学 里具有普遍的意义。
其实，（1）式中的 波函数 与（2）式中的 描述同一 量子态 的概率幅，只不过 绝对值 的平方给出粒子的概率按坐标 的分布，而 绝对值的平方则给出粒子的概率按 动量 的分布。二者属于不同的 表象 （ representation ），前者是波函数的 表象。在经典 统计物理学 中人们给出同时按 两者分布的分布函数[如 玻耳兹曼- 麦克斯韦 分布]，在 量子力学 中这是不可能的，因为存在 海森伯格 不确定度关系， 和 不可能同时精确给出。
相关讨论
不确定性原理的提出，更是引发了更多著名事件，例如 阿尔伯特·爱因斯坦 和 奥格·玻尔 在 索尔维会议 上的论战、“ 薛定谔的猫 ”、EPR佯谬、暗戳戳拉偏架支持爱因斯坦的贝尔不等式、以及贝尔不等式被证实不成立。2022年的 诺贝尔物理学奖 颁给了三位实验推翻贝尔不等式的 科学家 ，就是这一系列的 余波 。
玻尔、爱因斯坦大讨论
围绕不确定性原理是否成立等 量子力学 的基本问题， 爱因斯坦 和以 尼尔斯·玻尔 为首的 哥本哈根 学派进行了激烈的辩论。在辩论中，不确定性原理经受住了考验在1927年10月的第五届 索尔维会议 上尔海森等人提出了 波数 的统计解释一一不确定性原理和互补原理，系统地提出了量子力学的物理诠释，并认为量子力学的理论是完备的。在1930年10月的第六届 索尔维会议 上， 爱因斯坦 提出一个精心设计的被称为“爱因斯坦光子箱”的理想实验，他想以此来证明能量和时间的不确定度不满足不确定性原理。 爱因斯坦 设想，此光子箱中充满了辐射在上装有一个用时钟控制的 快门 ，在箱子的快门打开发出一个光子的前后，可以分别测量箱子的质量。在此实验中，释放 光子 过程的时间间隔可以用时钟机构精确测定，光子的能量可以通过测量箱子的质量而测得。因此，可以使时间和能量的不确定度的乘积趋于任意小的值，不确定性原理不再成立。
经过一夜的紧张思考， 玻尔 终于找出了 爱因斯坦 论证中的症结所在他忘记了自己所创立的 广义相对论 的位移效应。在第二天的发言中， 玻尔 利用广义相对论证明了在称量箱子质量的过程中，箱子在 引力场 中的位移会干扰控制 光子 发射的时钟装置的 速率 ，从而导致一个误差。他还定量地证明了此实验中能量和时间的不确定度仍然满足不确定性原理。从此， 爱因斯坦 承认了 海森堡 不确定性原理，承认了 量子力学 的理论在逻辑上是自洽的。
EPR样谬
1935年，爱因斯坦、 鲍里斯·波多尔斯基 、 纳森·罗森 共同发表了EPR佯谬，分析两个相隔很远粒子的 量子纠缠 现象。 爱因斯坦 发觉，测量其中一个粒子A，会同时改变另外一个粒子B的 概率分布 ，但是， 狭义相对论 不允许信息的传播速度超过 光速 ，测量一个粒子A，不应该瞬时影响另外一个粒子B。这个佯谬促使 奥格·玻尔 对 不确定性原理 的认知做出很大的改变，他推断不确定性并不是因直接测量动作而产生。 从这 思想实验 ， 爱因斯坦 获得寓意深远的结论。他相信一种“自然基础假定”：对于物理实在的完备描述必须能够用定域数据来预测实验结果，因此，这描述所蕴含的信息超过了不确定性原理（ 量子力学 ）的允许范围，这意味着或许在完备描述里存在了一些定域隐变量，而当今量子力学里并不存在这些定域隐变量，他因此推断量子力学并不完备。
1964年， 约翰·斯图尔特·贝尔 对 阿尔伯特·爱因斯坦 的假定提出质疑。他认为可以严格检验这假定，因为，这假定意味着几个不同实验所测量获得的概率必须满足某种理论不等式。依照贝尔的提示，实验者做了很多关于这佯谬的实验，获得的结果确认了量子力学的预测，因此似乎排除了定域隐变量的假定。但这不是故事的最后结局。虽然，仍可假定“非定域隐变量”给出了 量子力学 的预测。事实上， 戴维·玻姆 就提出了这么一种表述。对于大多数物理学家而言，这并不是一种令人满意的诠释。他们认为量子力学是正确的。因为经典直觉不能对应于物理实在，EPR佯谬只是一个佯谬。EPR佯谬的意义与到底采用哪一种诠释有关。 哥本哈根 诠释主张，测量这动作造成了瞬时的 波函数坍缩 。但是，这并不是瞬时的因果效应。测量这动作只涉及到对于 物理系统 的定量描述，并没有涉及到整个物理系统。 多世界诠释 主张，测量动作只会影响被测量粒子的 量子态 ，因此定域性相互作用严格地被遵守。采用多世界诠释，可以对贝尔提出的质疑给予解释。
波普尔批评
卡尔·波普尔 是以做为一位逻辑学者与 形而上学 实在论者所持有的态度来研究不确定性问题。他认为不应该将不确定性关系应用于单独粒子，而是应该应用于粒子 系综 ，即很多以同样方法制备出来的粒子。根据这种统计诠释，实验者可以精心设计测量运作，使得测量运作能够满足任意准确度，又不违反量子理论。
1934年，波普尔发表论文《评论不确定性关系》（《Critique of the Uncertainty Relations》），同年又发表著作《 科学发现的逻辑 》（《The Logic of Scientific Discovery》），其中，他给出统计诠释的论点。1982年，在著作《量子理论与物理学分歧》里，他将自己的理论更加推进，他写明：“无可置疑地，从量子理论的统计公式可以推导出 海森伯格 的公式。但是，很多量子理论者惯常性地错误诠释了这些公式，他们认为这些公式可以诠释为决定测量精确度的某种上限。” 波普尔 提出了一个证伪不确定性关系的实验，但在与卡尔·冯·魏茨泽克、海森堡、 阿尔伯特·爱因斯坦 会谈后，他又将初始版本收回。这实验可能影响了后来EPR 思想实验 的表述。1999年，波普尔实验的一个版本成功付诸实现。
反驳实证
维也纳 科技大学（Vienna University of Technology）的长谷川 司（Yuji Hasegawa）准教授与 名古屋大学 的 小泽正直 （Masanao Ozawa）教授等学者于2012年1月15日发表反驳海森堡 不确定性原理 的实证结果。他们用两台仪器分别测量 中子 的 自旋 角度并计算后，得到了比海森堡不确定性原理所示误差更小的测量结果，此即证明 海森堡 不确定性原理所主张的测量极限是错误的。
信息熵不确定性原理
信息是一个近代的概念，也称香农 。1948年 克劳德·香农 （Shannan）在创立信息论时，找到的量来量度信源的不确定性，它的最初含义是 随机变量 的不确定性度量。这个量与热力学和统计力学中的熵数学形式和物理意义都相近，所以也称为熵。 对于给定状态 向量 |ψ⟩的位置和 动量 分布，可以定义为： （1）， （2），可以推出 （3）。这种熵不确定性原理对海森堡——肯纳德关系进行了改进，可以证明（独立于量子理论）对于任何概率密度函数 有 ，将其应用到 不等式 （3）可以得到 ，由此可以看出熵不确定关系中隐含着海森堡不确定性原理。
应用
不确定关系除了在理论上具有重大意义之外，还有广泛的实际用途，特别是常常用来定性地估计体系的基本特征。在微观世界，一些 物理量 的不确定量常常与这些物理量自身相当，根据这个特点，还可以利用不确定关系来估算一些物理量。 例如，检验发生于超导系统或 量子光学 系统的“数字—相位不确定性原理”。对于不确定性原理的相关研究可以用来发展 引力波 干涉仪所需要的低噪声科技，它在量子精密测量、 量子通信 等量子信息处理中也起到关键的作用。
此外，不确定性原理也可以应用于实验测量粒子的位置和 动量 关系，在量子系统的探测器中，粒子束流由外场构成的源产生，然后被发送到实验区，在探测器中这些粒子被一个事例一个事例地记录下来。真实的粒子束流总是在空间和时间上有限地延展和持续，把一段波（波列或波包）视为一个长度有限的、周期确定的脉冲，利用能够切断波的尾巴的种特制快门，谐波分析可以给出该信号的频谱，显示像持续时间和频率、空间尺度和动量这样的一些互补量，从而得到相应的计算关系式。