欧姆定律（Ohm's law） 是电学中基本定律之一 ，其含义为：欧姆定律指出：通过导体两端的电流与导体两端的电压成正比，比例常数被称为电阻。公式为 。在交流电中，欧姆定律仍然适用，电压与电流的比例常数被称为阻抗，阻抗的概念是电阻的推广。欧姆定律是经过多次实验而推断的法则，只有在理想状况下，才会成立。然而并不是每一种元件都遵守欧姆定律。遵守欧姆定律的电器元件叫线性元件，也称为“欧姆元件”；其电阻叫线性电阻或欧姆电阻，与电流、电压的变动无关。不遵守欧姆定律的元件或电路称为“非欧姆元件”或“非欧姆电路”，其电阻可能会与电流、电压的变动有关。
欧姆定律是因 德国 物理学家 乔治·欧姆 （Georg Simon Ohm）命名的。 欧姆在1825至1827年间通过实验精确测量了电流与电压的关系。 1827年，在他发表的论文《直流电路的数学研究》（The galvanic Circuit investigated mathematically）里，他详细的论述简单电路两端的电压与流动于电路的电流之间的关系， 并提出了欧姆定律，为电学奠定了基础。 欧姆用比上面的现代形式稍微复杂的 方程 解释了他的实验结果。 在物理学中，术语“欧姆定律”也用于指该定律的各种推广。 例如电磁学中使用的定律的 向量 形式， 常用公式为J=σE，其中J为该电场在 导体 中所引起的电流密度，σ为导体的电导率，E为电场强度。
在电路分析中，欧姆定律是理解和计算串联和并联 电阻 电路中电流、电压分布的关键。 欧姆定律还适用于周期性激发电路，如交流电路中，其中 阻抗 代替电阻成为电路元件特性的综合表现。 在非线性电路中，欧姆定律的线性近似形式有时也可用于分析。 欧姆定律的实际应用广泛，从基本的电路设计 到复杂的电力分配系统，以及电气安全和电子故障排除， 不仅在理论上非常重要，在实际应用中用途也非常广泛，与日常生产、生活用电联系非常密切。
定义
欧姆定律：在恒定条件下，通过某段金属 导体 的电流 与施加在该导体两端的 电压 成正比。
公式
标准式：
变形公式： 或者
微分形式 ： 或者
需要注意的是，电路的 电阻 取决于导体的本身即它的长度（L）、横截面积（A）以及导体的 电阻率 （ρ），而跟加于这段电路的电压以及流过电路的 电流 无关。电阻的决定式为： 。
简史
前期探索
1753年， 意大利 物理学家乔凡尼·贝卡立亚（Giovanni Beccaria）展开了对物质导电性质的研究。他通过在电路中引入装有水的 玻璃管 ，观察到电流放电强度与玻璃管截面积的关系。贝卡立亚的实验发现，随着截面积的增大，电流放电强度也随之增大。 1781年1月， 亨利·卡文迪许 (Henry Cavendish)用 莱顿瓶 和不同直径和长度的装有 盐溶液 的玻璃管进行了实验。他测量电流的方法是记录用身体形成回路时感受到的冲击。他通过实验发现，电流与 电势 成正比。卡文迪什并没有发表这一研究成果，直到1879年 詹姆斯·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell)整理了他的研究手稿并发表了《卡文迪什研究》（Cavendish Researches ）一书之后，才为人所知。 1814年，弗朗西斯·罗纳德(Francis Ronalds)使用金箔 静电计 记录 伏打电池 （一种高压源）的“强度”（电压）和“数量”（电流）时，发现在某些气象条件下，两个参数之间的关系不成比例。
诞生
在1825年至1827年间 德国 物理学家 乔治·欧姆 （Georg Simon Ohm）开始研究电流和电压的关系，并通过一系列实验，精确测量电流和电压之间的相互作用。 欧姆最初是利用电流通过 导体 时产生的热胀冷缩效应来测量 电流 ，但这种方法的精确度有限。随后，他决定利用电流的磁效应来测量电流。在德国科学家施威格发明的检流计启发下，他把奥斯特关于电流磁效应的发现和库仑扭秤方法结合起来，设计了一个电流扭力秤，用它测量电流强度。他的第一阶段实验探讨了电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，其结果于1825年5月在他的第一篇科学论文中发表，这是一篇有关伽伐尼电路的论文，不过其中的公式存在错误。在之后的实验中欧姆制备了截面相同但长度不同的七根导体，依次将各个导体接入电路，观测扭力拖拉磁针偏转角的大小，并改变条件反复操作，通过电流扭力秤测量它们在电路中的表现。 这些实验使他得出了一个关于电流、导线长度和电路其他参数之间关系的初步公式： ， 对应于电流强度， 对应于电源 电动势 ， 和 分别对应于外 电阻 和电源的内阻。在欧姆之前，虽然还没有电阻的概念，但是已经有人对金属的电导率（传导率）进行研究。1825年7月，在进一步的实验中，欧姆使用上述初步实验中所用的装置，研究了不同金属的相对 电导率 。他发现，当导线的长度与横截面面积成比例时，它们的导电率 相等 。1826年，欧姆利用改进后的实验装置，最终揭示了欧姆定律的规律：电流随电压成正比，与电阻成反比。简而言之，增加电压会导致电流增加，而增加电阻则导致电流减小。这一发现为电学领域奠定了坚实的基础。
1827年欧姆出版了《用数学方法研究电流电路》（“Die galvanische Kette,mathematisch bearbeitet”）一书， 在书中他用数学方法从理论上推证了欧姆定律： ，式中 为导线中的 电流 ， 为 电导率 ， 为导线两端的 电势 之差。除此之外，欧姆还得出了 导体 的 电阻 与导体的长度成正比，与导体的横截面积成反比的结论。 他的工作与傅立叶对热在固体中传播的数学研究相呼应，将电现象与热现象进行了类比，进一步巩固了欧姆定律的理论基础。 尽管欧姆的实验工作为他的理论提供了基础，但他在书中更多地从理论角度出发，提出了三个基本假设：第一个假设是关于“电在体内分布”的，假设电荷仅从一粒子直接转移到下一粒子，并与它们之间 电压 成正比。另外两个假设是“纯实验性的”，涉及“电在周围空气中的分散方式”和“两种不同物质接触时电的出现”，并在此基础上发展了他的理论。 这导致了当时的科学界对 乔治·欧姆 工作的误解，认为他的理论是纯粹的推理，而非基于实验。 科学界受到当时主流的流体理论的影响，而这一理论无法解释欧姆所提出的电流行为。由于缺乏科学界的支持，欧姆遭受了许多批评和孤立。
后续进展
德国 科学家古斯塔夫-特奥多尔-费希纳（Gustav-Theodor Fechner）则立即认识到欧姆定律的重要性，并为其实验验证作出了贡献。 法国 科学家劳德-塞尔维斯-马蒂亚斯·普伊莱（Claude-Servais-Mathias Pouillet）在1832年的物理 教科书 中首次提出了关于金属导电性的结论，指出如果考虑到提供电流的 伏打电池 的 电阻 ， 导线 的导电性将与导线的长度成反比，并在1837年发表了一种验证欧姆定律的实验。 1843年， 查尔斯·惠斯通 （Charles Wheatstone）向 伦敦皇家自然知识促进学会 提交了一篇题为“确定伏打电路 常数 的几种新过程的说明”的重要论文。在这篇论文中，惠斯通提出了多个基于欧姆定律的计算电流和电阻的实用公式。此外，他还引入了一个电阻单位的定义，即一个重量为一百格令（相当于6.5克）的一英尺长的铜线。惠斯通进一步阐述了如何利用这一 电阻 单位通过测量电阻来确定电线的长度。 1897年 汤姆森 （ 约瑟夫·汤姆逊 ）发现 电子 之后 ，1900年保罗·德鲁德（Paul Drude）提出了第一个电传导模型—— 德鲁德模型 。 该模型对欧姆定律给出了科学的解释。
1927年， 阿诺德·索末菲 (Arnold Sommerfeld)将量子 费米- 保罗·狄拉克 电子能量分布应用于德鲁德模型，从而形成了自由电子模型。 一年后， 费利克斯·布洛赫 （Felix Bloch）证明了电子在固体晶格中以波的形式（布洛赫电子）移动，因此德鲁德模型中假设的电子从晶格 原子 上的散射并不是主要过程； 电子 实际上是从杂质原子和材料中的缺陷上散射。 现代固体量子 能带理论 ，表明固体中的电子不能像 德鲁德模型 中假设的那样拥有任意能量，而是被限制在能带中，它们之间存在能量间隙，电子被禁止拥有这些间隙中的能量。能带间隙的大小是特定物质的特征，与该物质的 电阻率 有很大关系，解释了为什么有些物质是 电导体 ，有些是半导体，还有些是 绝缘体 。 20世纪20年代，人们发现实际 电阻 器 中的电流实际上具有统计波动，这些波动取决于温度，即使电压和电阻保持完全恒定；这种波动，现在被称为 约翰逊- 奈奎斯特噪声，是由于电荷的离散性质。这种热效应意味着，在足够短的时间段内测量的电流和电压将产生 比值，这些比值会从测量电流的时间平均值或集合平均值所暗示的 值中波动；对于普通电阻材料，欧姆定律对于平均电流仍然正确。
原理
欧姆定律的根源于 导体 内部自由电子的行为。在导体中，自由电子带负电。当导体两端施加电压时，会在导体内产生 电场 。电场对自由电子施加力，促使它们沿电场方向漂移，形成电流，其方向与电子流动的方向相反，即从高 电势 区域流向低电势区域。自由电子在漂移过程中会与导体原子及其他电子发生碰撞，这些碰撞是 电阻 的微观体现。碰撞将电子的动能转换为 热能 ，减缓电子的漂移速度，导致电阻增加时，自由电子的平均漂移速度降低。
德鲁德模型的核心运动学方程包含两项：第一项是电磁场对电子的作用力，第二项涉及平均自由程，描述电子之间的碰撞；该模型进一步阐释了固体 导体 中电子的传输机制。该模型认为，导体由静止的原子晶格构成，传导电子在其中随机移动。施加的电压产生 电场 ，电场加速电子，引起电子的定向漂移，形成电流。电子与原子的碰撞使电子运动随机化，并将动能转化为热能。统计分析显示，在一定电压范围内，电子的平均漂移速度与电场成正比，因此电流与电压成正比。
为了更直观地理解欧姆定律，可以使用类比方法。例如，水力学类比将电流比作水流，电压比作推动水流的压力， 电阻 比作管道中的阻力。在这个类比中，打开压力阀（施加电压）导致水流（电流）通过管道（ 导体 ）。水流速度受到管道直径（电阻）的影响；类似地，电路中电压的增加导致电流增加，而电阻的增加限制电流的流动。
热力学类比则将电路中的电压比作温差，电流比作热流密度，电阻比作热阻。在这个类比中，温差驱动热量传递，电压驱动电流流动。热阻影响热量传递的效率，电阻影响电流的强度。在恒定温差下，热阻越大，传热效率越低；热阻越小，传热效率越高。同样，在电路中， 电阻 的大小决定电流的强度。
适用范围
欧姆定律是一条经验定律，经受了科学技术的严格测试，证明了其在描述电阻、电流和电压关系方面的准确性。尽管在某些特定条件下需要考虑额外的因素。 实验结果显示，即使在尺度缩小至 原子 级别的硅纳米线中，欧姆定律依然成立。 欧姆定律适用于各种工作条件下的导电材料和纯电阻元件例如：金属和无化学反应的 电解质 溶液中。 在特定条件下，如异温条件下验证金属的导电能力时，其应用范围可以从pA/cm²到GA/cm²。在高 电场 下，针对元素半导体， 电导率 需视为 电流密度 的非线性函数，此时欧姆定律的 微分形式 需要修正。在半导体中，电流的产生依赖于 漂移 载流子 和扩散载流子，其中 漂移电流 受欧姆定律制约，而 扩散电流 遵循费克定律。修正后的欧姆定律（Modified Ohm's Law）在器件物理中以 电化学 势替代 静电 势，形成了电流 方程 。
电路分析
欧姆定律是 电学 中最基本、最重要的定律之一，描述了电流、电压和 电阻 之间的关系。 在电路分析中，欧姆定律被广泛应用于不同类型的电路，包括串联电阻电路、并联电阻电路、 周期性 激发 和 线性近似 等各种实际情况。
串联电路
在 串联电路 中，两个或更多个电阻一个接一个地顺序相联，这些电阻中通过的是同一股电流。这意味着，电流在串联电路中的每一个部分都是相同的。
在串联电路中，可以使用等效电阻 来简化 电路分析 。等效电阻是所有串联电阻的总和，计算公式为： 。
串联电路中，总电压 等于各个串联 电阻 上分电压 的总和：
每个电阻上的分电压可以通过欧姆定律计算，即： 。
由于 串联电路 中的电流是一致的，我们可以使用欧姆定律来求解电路中的电流。如果知道电源电压 和总电阻 ，可以使用以下公式计算电流 ： ，其中， 是电源的内阻。
电路中的功率可以通过电压和电流来计算，公式为 。对于串联电路中的单个 电阻 ，其功率可以通过其上的分电压和电流来计算： 。
并联电阻电路:
在并联电路中，两个或更多个电阻被连接在两个公共点之间，这意味着每个电阻都承受相同的电压，但电流可能不同。
在并联电路中，可以使用等效电阻 来简化 电路分析 。等效电阻的 倒数 等于各个并联电阻倒数之和，计算公式为： 。
在并联电路中，总电流 等于各个分支电流 之和： 。每个分支的电流可以通过欧姆定律计算，即： 。
由于并联电路中的电压是一致的，我们可以使用欧姆定律来求解电路中的总电流。如果知道电源电压 和总 电阻 ，可以使用以下公式计算总电流 ： 。
电路中的功率 可以通过电压和电流来计算，公式为 。对于并联电路中的单个电阻，其功率可以通过其上的电压和电流来计算： 。
周期性激发
欧姆定律在周期性激发电路的分析中的应用，主要体现在理解和计算电路中电阻、电流和电压之间的关系。周期性激发电路通常指的是那些电源电压随时间周期性变化的电路，例如交流电路。在这些电路中，欧姆定律依然是分析电流和电压分布的基础。
在周期性激发电路中，欧姆定律可以表示为： ，其中， 是电压， 是电流， 是阻抗，而 表示时间。在交流电路中，阻抗 可以是 复数 ，包含实部（电阻分量）和虚部（电抗分量）。
在交流电路中，功率的计算更为复杂，因为电压和电流都是随时间变化的。瞬时功率可以通过以下公式计算： ，但是，为了得到平均功率，通常使用有效值 来计算： ，其中， 是电压的有效值， 是电流的有效值。
线性近似
欧姆定律通常在 线性近似 条件下使用，即电流与电压的关系是线性的。在某些电路元件的非线性情况下，可以使用欧姆定律的线性近似形式进行分析。然而，在非线性电路中，可能需要其他定律和方法，如某些 半导体器件 的非线性特性可能需要使用基于非线性 电阻 的模型。
温度效应
欧姆定律描述了电流、电压和电阻之间的基本关系，但在考虑电阻时，需要注意到温度对电阻的影响。这被称为电阻的温度效应，通常通过 温度系数 来描述。 大多数 导体 的电阻随温度的变化而变化。电阻与温度之间的关系可以用以下的近似公式表示: ， 其中 是温度为 时的电阻， 是参考温度 时的电阻， 是电阻温度系数。 电阻 温度系数 表示单位温度变化时电阻变化的百分比。对于金属导体而言，一般情况下，温度升高导致电阻增加，而温度降低导致电阻减小。 温度对电流和电压的影响:由于欧姆定律 中包含了电阻，因此温度的变化也会影响电流和电压的关系。当电流通过一个具有温度依赖电阻的 导体 时，由于电阻的变化，电流和电压之间的关系可能会发生变化。 在电路设计和分析中，工程师通常需要考虑电阻的温度效应，特别是在高精度和温度敏感的应用中。对于精确的测量和控制系统，需要选择适当的 电阻 材料和组件，以最小化温度引起的误差。
应用
在 电机工程学 中，欧姆定律是分析电路的基础，广泛应用于直流（DC）和交流（AC）系统。该定律通过电压、电流和电阻之间的关系，在已知某些参数的情况下，计算出未知参数。基尔霍夫电压定律（KVL）和 基尔霍夫电路定律 （KCL）进一步扩展了这一分析框架，帮助工程师解决电路中的电流和电压分布问题。
在电气安全领域，欧姆定律指导 保险丝 和 断路器 的设计，这些装置能在电流超过设定阈值时切断电路，以保护电路免受损害。在电力分配系统中，欧姆定律用于计算电路中的功率损耗，这对于确定电线、变压器等组件的尺寸，以实现高效的电力传输至关重要。在 电子 故障排除方面，通过测量电路的电压和电流，工程师可以利用欧姆定律来评估电路的 电阻 ，并识别可能导致问题的故障元件或连接。欧姆定律的应用范围从基础电路设计延伸至复杂的电力分配系统。
影响
欧姆定律是它之后电气科学发展的基础；在此后的研究发现只不过是欧姆原理的自然发展。 在欧姆定律提出之前，科学家们对 电流 ，电压等概念都不明确，也没有 电阻 的概念。 欧姆定律定义了电压、电流和电磁之间的基本关系，这些基本关系标志着 电路分析 的真正开始。欧姆定律及其公式的提出，给 电学 的计算带来了很大的方便。