积范畴(product category)是范畴论的基本概念之一。指由一些范畴组成的新范畴。
概念
设 为一个范畴集合，由它们可作出一个新范畴 。即，记 为 的对象，其中 ，规定其 态射 集为：
(右端的∏表集合的直积，即“ 笛卡儿 积”)，规定其态射合成为各分量中态射的合成，即：
这样得到的范畴 称为{C}的积范畴。其恒等 态射 为
范畴
范畴论的基本概念之一。称C是一个范畴，是指C满足下述六点：
1.C有一个对象类 (不要求它是一个集合，即不要求它满足集合论的公理，只要求能判别出是不是它的对象)，常记为 ObjC 或简记C。
2.对C的任两对象A，B，有一个确定的集合(可为空集)Hom(A，B)，其元素称为由A到B的 态射 ，记为 或 。
3.对给定的 与 有惟一的 ，称为f与g的合成。
4.Hom(A，B)与Hom(C，D)有公共元是指 且 。
5.态射合成满足 结合律 。
6.对C的任意对象A，Hom(A，A)至少有一个元素ε使对 恒有 ，称ε为A的恒等态射(ε为B的恒等态射)。
例如，以一切集合作对象，以集合映射作 态射 ，则得集合范畴Set(简称集范畴)。以一切拓扑空间作对象，以连续映射作态射，则得拓扑空间范畴Top。以一切环为对象，以环同态作为态射得环范畴Ring。类似地，可得群范畴Group，阿贝尔群范畴AG，环R上的左R模范畴M等。以 自然数 为对象， (表示a整除b)时定义Hom(a，b)有 惟一 元素φ，ab时定义 ，也得到一个范畴。一般地，对每个拟序集都可仿此定义范畴。
范畴论
代数学的一个重要分支。数学的各个领域都有各自的研究对象。例如，集合论研究集合与映射；线性代数研究线性空间与线性映射； 群论 研究群与群同态； 拓扑学 研究拓扑空间与连续映射。在20世纪中期，数学家们认为有必要将各个领域中的研究对象各自合在一起成为一个整体，使之成为一种数学系统，这就是范畴思想。于是，所有的集合与映射组成集合范畴；所有的群与群同态组成群范畴。在各个范畴之间往往存在着内在联系与变换。例如，一个群模去其换位子群的商群(称为交换化)得到一个交换群，从而交换化成为群范畴到交换群范畴的一个变换，且这个变换保持着群同态及其合成。事实上，这就是 函子 的思想。在域F上的线性空间范畴中，任一线性空间L必有惟一的对偶空间 ，“*”可看成这个线性空间范畴到自身的一个变换。尽管当L为有限维时L与L是 同构 的(记这个同构为 )，但这个同构不是“自然”的。即，若L与L间有一个同构 ，“*”诱导出L到L的一个同构为α，但对L中的元素x来说， 一般地并不等于 。这就引起“自然性”的研究。艾伦伯格(Eilenberg，S.)与麦克莱恩(MacLane，S.)于1945年发表的论文《自然等价的一般理论》为范畴论的建立作出了奠基性的工作。
在某种意义上来说，范畴论提炼了数学(甚至其他学科)各分支的共性，是比集合论更高一个层次的数学公共语言与工具。它使数学各个领域的研究通过箭头图做了一致化与简单化的处理，更加显示其本质上的东西，同时使许多数学系统的性质通过图的泛性质得到了深刻的刻画。戈德门特(Godement，R.)于1958年将范畴论应用到 拓扑学 ，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年将范畴论应用到微分几何， 亚历山大·格罗滕迪克 (Grothendieck，A.)与迪厄多内(Dieudonné，J.)于1960年将范畴论应用到 代数几何 。现在，范畴论在上述学科及同调 代数 、代数K理论、模论、 环论 等学科中都得到了成功的应用。应用范畴论时，关键是先搞清研究问题以什么作对象，以什么作 态射 。研究不同范畴之间的关系时，关键在于找到适当的 函子 。范畴论的核心是函子理论。艾伦伯格与麦克莱恩为了搞清某些 同构 (等价)的“自然”变换之精确含义，于1945年引入范畴与函子的概念去定义自然变换。现在，范畴论已渗透到现代数学的各个领域(甚至已应用到 计算机科学 等)，成为现代数学的基础。