ius，1849—1917)证明 实数 域上有限维可除 代数 只有实数、 复数 及实四元数的代数。线性结合代数的结构 定理 是1907年由 美国 数学家魏德本(J。 Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究。
概念起源
环的概念原始雏型是整数集合。它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素。抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生。 戴德金 在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是 代数 整数环中的一些特殊的子环。这开始了理想理论的研究，在 艾米·诺特 把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去。
环的概念的另一来源是19世纪 对数 系的各种推广。这最初可追溯到1843年 哈密顿 关于四元数的发现。他的目的是为了扩张用处很大的 复数 。它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数。它可以看成是实数域上的四元代数。不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连 结合律 也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数。其后各种“超复数”相继出现。
1861年， 卡尔·魏尔施特拉斯 证明，有限维的 实数 域或复数域上的可除 代数 ，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)。
1870年 戴德金 也得出同样结果(1888年发表)。
1878年弗洛宾尼乌斯(F。G。Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、 复数 及实四元数的代数。
1881年小皮尔斯也独立得到证明。1958年用代数 拓扑学 方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数。可见实数域及复数域具有独特的性质。
研究成果
关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B。Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个。他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础。
1898年、 埃里·嘉当 (E。Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年， 德国 数学家摩林(T。Molien，1861—1941)征明， 复数 域上维数≥2的单结合 代数 都与复数域上适当阶数的矩阵代数 同构 。线性结合代数的结构 定理 是1907年由 美国 数学家魏德本(J。HM。Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和。单代数可表为域上可除代数的矩阵代数。这样结合代数就归结为可除代数的研究。可除代数有着以下的结果。1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即 埃瓦里斯特·伽罗瓦 域。当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环。20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善。
从线性结合代数到结合环的过渡是 阿廷 完成的。1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构 定理 。对于半单环的分类，雅可布孙(N。 Jacobson ，1910—)创立了他的结构理论。他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元。对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯 代数 及其推广也有许多独立的研究。而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及 哈里·霍普金斯 (C。H opkins)证明阿廷环都是诺特环。对于诺特环，却长期没有相应的结构理论。一直到1958年 英国 数学家戈尔迪 才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个 阿廷 半单的分式环，这才促进了新研究。与诺特环平行发展的是满足 多项式 等式的环。
环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进。
环论起源
环论的另一来源是 代数 数论及代数 几何学 及它们导致的 交换环 理论。1871年 戴德金 引进理想概念，开创了理想理论。环这个词首先见于 戴维·希尔伯特 的数论报告。代数几何学的研究促使 希尔伯特 证明 多项式环 的基 定理 。在本世纪初 英国 数学家 腊斯克 (E。Lasker，1868—1941)及麦考莱(F。S。 澳门特别行政区 lay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理。对于交换环的一般研究来源于E。 艾米·诺特 。她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W。Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环。四十年代，薛华荔、柯恩(I。S。Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O。Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究。