集合（英文：set），简称集，是 集合论 的主要研究对象。一般地，集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。
集合思想可以追溯到 古希腊 的 原子论 学派，他们将直线看成一些原子的排列。到了16世纪， 伽利略·伽利莱 发现正整数可以同正整数的平方构成一一对应，当时无穷集合的这一性质被看成与“整体大于部分”这一公理相悖，而称为伽利略悖论。19世纪初，在傅里叶、 伯恩哈德·黎曼 、 狄利克雷 等人的工作中，已经出现了由具有某些共同性质的点或函数构成的集合。1851年， 波尔查诺 发表的《无穷悖论》建立集合等价的概念。1870年， 格奥尔格·康托尔 开始研究“函数的三角级数表示的惟一性问题”，并在1871年至1872年，他把三角级数展开的惟一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由 实数 构成的愈来愈复杂的集合。1873年，康托尔已证明了实数集是不可数的。而且在1874年，康托尔提出集合的定义。此后，集合成了明确独立的数学研究对象， 集合论 这个新的数学学科从此诞生。自集合的概念出现后，又出现了 子集 、 幂集 、 交集 、 并集 、笛卡儿积、关系、 映射 等一系列概念，后来一些数学家发现经研究发现集合的概念过于一般，产生了一些 悖论 ，这些悖论促进了数学家用公理化方法对集合的概念予以合理的限制，并得到现今通用的 恩斯特·策梅洛 弗兰克尔 公理系统 。
集合的类型有 空集 、 全集 、无序对、单元集、有序对、集族等， 集合与元素的特点有4种，例如一个集合中的不同元素是可区别的，是彼此独立的 单体 。 集合间的关系有子集、并集、集合的 相等 以及幂集等。 集合的表达方法有三种，分别是列举法、描述法、 图示法 。 集合的运算又可以分为 交运算 、 并运算 、补运算、减运算、 对称差 、叉运算等，其中并运算和交运算可以推广至集合的广义并与广义交。
集合在 计算机 、 电子技术 、医学、金融 等其他领域有着广泛的应用。例如在临床诊断中运用集合的方法，可以为临床诊断提供一个科学、规范化的操作模式。
简史
集合概念的诞生
集合思想可以追溯到古希腊的 原子论 学派，他们将直线看成一些原子的排列。在中世纪，已有人注意到：如果从两个同心圆的中心出发作射线，那么这些射线就在两个圆周上的点之问建立了一一对应，然而两圆周的长度是不 相等 的。到了16世纪， 伽利略·伽利莱 发现正整数可以同正整数的平方构成一一对应，当时无穷集合的这一性质被看成与“整体大于部分”这一公理相悖，而称为伽利略悖论。
19世纪初，在傅里叶、 伯恩哈德·黎曼 、 狄利克雷 等人的工作中，已经出现了由具有某些共同性质的点或函数构成的集合。此时期，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。1851年， 波尔查诺 发表的《无穷悖论》肯定了实无穷的存在，并建立集合等价的概念，还注意到了无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。1870年， 格奥尔格·康托尔 开始研究“函数的三角级数表示的惟一性问题”，康托尔在1871年至1872年的论文中，将把三角级数展开的惟一性条件推广到允许例外值成为无穷集的情况。他把函数问断点问题的研究过渡到对点集本身的研究，明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由 实数 构成的愈来愈复杂的集合。
1873年，康托尔已证明了实数集是不可数的。而且在1874年，康托尔提出集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”此后，集合成了明确独立的数学研究对象，集合论这个新的数学学科从此诞生。自集合的概念出现后，可以进一步定义集合的 子集 、 幂集 、 交集 、 并集 、笛卡儿积、关系、映射等一系列概念，并由此发展了集合的各种理论。 格奥尔格·康托尔 还成功使用一一对应的方法来比较无穷集合的大小，揭示了无穷集合与有穷集合本质的区别：部分可以等价于全体，他断言无穷集合也是客观上的实体。1895年和1897年，康托尔发表题为《关于超穷集合论的基础》的论文，定义了基数和 序数 的加法、乘法及乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。至此，康托尔完成了集合论的基本内容。
后续发展
经过研究发现集合的概念过于一般，产生了一些 悖论 ，比如1897年的布拉利·福尔蒂 悖论 。这些悖论给集合论带来的困难，促进了数学家用公理化方法对集合的概念予以合理的限制。1908年，数学家 恩斯特·策梅洛 （Zermelo,E.F.F.）给出了第一个 公理系统 ，后经 约翰·冯·诺依曼 （von Neumann,J.）将这些公理形式化，得到现今通用的策梅洛-弗兰克尔公理系统，简称ZF系统。该系统可以导出 格奥尔格·康托尔 集合论 里几乎所有结果，并排除已知的 悖论 。
定义
集合一般地是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素或简称元。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。 若 是集合 的元素，则称 属于 记为 若 不是集合 的元素，记为 当某一集合 的元素为 时，可写作 称集合 由元素 聚合而成。由所有具有某一性质 的对象 聚合而成的集合，通常记为 （或 ）。通常用大写拉丁字母 表示集合，用小写拉丁字母 表示集合中的元素。
性质
确定性
确定性是指任何一个元素是否属于某个集合是确定的，即或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一。
互异性
互异性是指一个集合的各个元素是可以互相区分开的，并且每个元素只能出现一次。如果某个元素在集合中多次出现，也只能看作一个元素，如集合{1,2,3,2}就等同于集合{1,2,3}。
无序性
无序性是指一个集合中所有元素之间的排列次序是任意的，即集合的表示形式不是唯一的，如集合{1,2,3}和集合{2,1,3}是同一个集合。
集合与元素的特点
格奥尔格·康托尔 认为组成集合的元素可以是任何直观的事物，也可以是任何抽象的对象。集合也可以作为其他集合的元素。集合与其元素之间有如下特点：
特点1： 一个集合由一定范围内的元素组成，完全被这些元素所确定（即集合的外延性），而一个元素是否属于某一集合是确定的，即 与 有且仅有一个成立；
特点2： 一个集合中的不同元素是可区别的，是彼此独立的 单体 ；
特点3： 集合是由它的元素组成的整体，有别于它的任何元素。即使集合 只有一个元素 也应认为
特点4： 不含任何元素的集合称为 空集 ，记为
类型
空集
不拥有任何元素的集合称为空集合，简称为空集，记为 可用符号表述为： 或
空集是一切集合的 子集 ，且空集是惟一的。
全集
全集 亦称通用集、 宇宙 集、万有集、个体域或 论域 ，它包含所讨论的问题中涉及的所有集合。当事先给定一个集合 并且约定只限于讨论 的元素或子集时，就把 称为该理论的论域或全集。常用字母 等表示，取 做全集可用符号表述为
无序对
无序对即仅含两个元素的集合。对于任意的两个对象（集合） 和 集合 称为对象 和 的无序对。
有序对
有序对亦称序偶，即以一种确定的次序给出的两个客体的集合称为序偶。按先 后 的顺序给出客体 与 得到的序偶记为 两序偶 相等 ，当且仅当
单元集
单元集亦称单元素，即只含有一个元素的集合。元素 组成的单元集记为 单元集可以看做是无序对集合的特例，即
集族
集族是以集合为元素的集合称为集族。例如，集的是一个集族。都是集族。
有限集合
有限集合亦称有穷集合。如果集合 是由有限多个元素组成，则称 是有限集和，简称有限集。
无限集合
无限集合亦称无穷集合。如果一个集合 是由无限多个元素组成，则称 是无限集合，简称无限集。
集合间的关系
集合的包含
子集 是指两个具有包含关系的集合中的被包含者。对于集合 与 若 中的每个元素都是 的元素，则称 是 的 子集 ，记为 若 且 即 中的元素都在 中，而 中存在不属于 的元素，则称 为 的真子集，记为
幂集 ： 设 是任意给定的集合，则由其所有 子集 构成的集合称为 的幂集合，简称幂集。记为 幂集有重要的性质： 即 康托尔定理 ，还可以写成 其中 和 分别是 和 的势。
集合的相等
集合的相等，即集合间的等同关系。如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A与集合B中的元素相同，因此两集合相等，当且仅当它们含有相同的元素，集合 与集合 相等，记为
两集合不相等，记为 关于集合的等同关系的普遍原则通常称为集合的外延性原则或 外延公理 ，它可以用符号表示为： 集合的相等关系具有自反性、对称性与传递性。
集合的运算
映射 定义： 映射亦称函数，是一种特殊的关系。设 是从 到 的关系， 的定义域 为 且对任何 都有惟一的 满足 则称 为从 到 的映射。
集合的运算是指集合的交、并、差、补等运算的统称，是由已知集合构造新集合的一种规则。设 为一个 幂集 ，映射
为集族的 一元运算 ，映射 为集族的 二元运算 。对于 全集 的幂集合 常讨论的运算如下：
交运算
交运算 又称集合乘法，是 映射
两个（或多个）集合经交运算所得到的集合，称为 交集 ，记为
运算法则/性质：
例如：设 求
解：
并运算
并运算又称集合 加法 ，是 映射
两个（或多个）集合经并运算所得到的集合，称为 并集 ，记为
运算法则/性质：
例如：设 求
解：
补运算
补运算是指从一个集 求出它 补集 的运算，可用 映射 表示。把 幂集 中的每个集合 映射为它的补集 称其为 的 一元运算 。
全集 与集 的差集 称为 的补集，记为
运算法则/性质：
例如：设 求
解：已知， 所以
减运算
减运算是指从两个已知集合 与 求其差集 的运算，可用 映射 表示。
两个集合经过减运算所得的集合，称为差集，记为
运算法则/性质：
例如： 则
对称差
集合的对称差称集合的不可兼并。集合 或 称为集合 与集合 的对称差，记为
可用 映射 表示。
运算法则/性质：
例如： 则
叉运算
叉运算，是 映射
集合 与 的 对称差 的 补集 称为 与 的叉集，记为 可用符号表示为：
运算法则/性质：
集合的表示法
集合的表示法，也就是集合的表达形式，即给出一个集合和组成这个集合的元素的表示方法。表示集合的方法有三种：
列举法
列举法又称外延法。把集合的元素一一列举出来，写在大括号“ ”内，并用逗号“ ”把它们彼此分开。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；小于10的素数集合 可表示为 列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况（如正整数集和整数集可以分别表示出来）。在用列举法表示一个无限集或元素很多的集的时候常用省略号。这时,要注意表示的明确性，要能从已经列举的元素中知道被省略的元素是什么。在用列举法表示集合时，元素的次序无关紧要，但不允许重复。
描述法
描述法又称特征性质法或内涵法，利用概括原则指出确定集合元素的特征性质 从而给出集合的方法称为描述法。具有性质 的所有元素 组成的集合 记为 其中 表示集合中元素的特征性质。
图示法
图示法，如维恩图法，是集合的一种直观的图形表示法。用圆、椭圆、矩形或其他封闭曲线围成的区域表示集合。
如图所示，矩形表示 全集 曲线包围的区域表示集合 等。
常用数集及其记法
推广
集合的广义并
集合的 广义 并是并概念的推广。设 是标号集， 为 集族 ， 是 到 的一一对应，且 由集族
中的集合的元素组成的集合 称为族中集合的广义 并集 ，记为 用符号表述为：
集合的广义交
集合的广义交是交概念的推广。设 是标号集， 为 幂集 ， 是 到 的一一对应，且 由属于族 中的每个集合的元素组成的集合 称为族中集合的广义 交集 ，记为 用符号表述为：
应用
计算机
在计算机科学领域，集合数据结构支撑着数据库查询（SQL的UNION操作）、算法设计（哈希集合）及形式化验证。集合（Set）是Java中一个很重要的可以用来存储和处理无重复元素的高效的 数据结构 。比如说可以存储和处理一个单位的部门名称，存储和处理一个国家的省城名称等。集合是一个接口，它继承了Collection接口中所有的方法。虽然集合本身不能实例化，但可以作为类型使用，只是规定其实例不能包含重复的元素。在实际应用中，如果需要用集合来存储和处理对象，则该对象的原类除了包含正常封装的数据成员，一些必要的业务处理的方法外，还需要重写 hashCode()和 equals()方法；如果业务上还要求需要有序存储，那么对象的原类还必须实现Comparable接口，实现从接口继承的compareTo()方法。集合有三个实现的具体的子类，分别是HashSet、LinkedHashSet和TreeSet，这三个类也是必须确保不能向集合中添加重复的元素。
电子技术
逻辑函数 是《 数字电子技术 》课程教学中的基础内容，逻辑函数的化简对整个电路的设计起着至关重要的作用，化简的方法主要有公式法和 卡诺图 法，卡诺图的直观易懂使得卡诺图化简法更受青睐。数学集合的 交集 与卡诺图化简过程中的圈图具有很大的共性，研究数学集合的交集在卡诺图化简中的应用具有很大的意义。 应用数学 集合的交集后，卡诺图的化简法才是真正意义上的图形化简法，也更加容易记忆。对于多变量的逻辑函数，应用交集后卡诺图只需记住每个变量在图中的位置，比应用交集之前需记住每个最小项的具体位置更加简单容易。而且在合并最小项时，利用交集可以很快把每个圈对应的表示写出，传统方法还需要借助公式法进行合并。
医学
医生在疾病诊断过程中，首先是收集病史、症状、体征、 实验室检查 结果、药物诊断性治疗结果等疾病的临床资料。医生需要根据这些资料，提出与之相应的一组或几组全部可能待鉴别的疾病，进而逐步分析，排除可能性较小的疾病，最后肯定一个可能性最大的疾病，直至确诊。这一过程，可以用 集合论 的方法完成。为实现用集合论的方法进行临床诊断，需要建立“病状”的概念，也就是一个集合，而由病状提出的全部可能待鉴别的疾病或全部否定的疾病，可看做集合的元素，而后根据集合的基本运算原理最后得出患者的诊断结果。将集合论基本原理应用于临床 鉴别诊断 中，可以为临床诊断提供一个科学、规范化的操作模式，把诸多貌似散乱的临床资料有机统一起来，使经验上升为理性，将误诊率降低至最低限度。
金融
在 会计学专业 基础的教学中，会计帐户的分类是一个难点，因会计学对账户分类没有一个严格定义，导致了理解上的偏差，这是造成观点分歧、帐户分类混乱的主要原因。学者邓先礼等人将集合分类的定义应用于会计帐户的分类，将账户分类定义为：在给定的准则下，将全体帐户的 集合划分 为若干个叫做类的 子集 ，使得每一个帐户属于而且只属于一个类。因此，按照该定义，可以对账户进行正确的分类，对于会计理论学习和会计实务都有很大好处。财政部所颁布的企业会计制度对会计帐户所作的分类就是一个很好的典范。