皮亚诺

皮亚诺（Giuseppe Peano）， 意大利 数学家。1858年8月27日生于 皮埃蒙特 的 库内奥 附近的斯皮内塔村；1932年4月20日卒于 都灵 。

皮亚诺致力于发展布尔所创始的符号逻辑系统。1889年他出版了《几何原理的逻辑表述》一书，书中他把符号逻辑用来作为数学的基础，这工作在二十多年后为 阿尔弗雷德·怀特黑德 所继续。

皮亚诺由未定义的概念“零”，“数”，及“后继数”出发建立 公理系统 。

个人生平

皮亚诺的父母巴尔托洛梅奥和 罗斯亚有4男1女，皮亚诺是第二个孩子。他们家以耕作为生，虽处在文盲充斥的农村，但皮亚诺的父母有见识且很开朗，让子女都接受教育。他家住在离省城库内奥3英里的地方，每天皮亚诺和其兄米切勒必须步行去省城念书。为了方便孩子们上学，他父母把家搬到城内，直到他最小的妹妹小学毕业，才又搬回农场。他的舅舅M. 卡瓦罗是一位牧师和律师，住在 都灵 。由于皮亚诺勤学好问，成绩优异，舅舅接他去都灵读书。开始时他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自学，使他能于1873年通过卡沃乌尔（Cavour）学校的初中升学考试而入了学。1876年高中毕业，因成绩优异获得奖学金，进入 都灵大学 读书。他先读工程学，在修完两年物理与数学之后，决定专攻 纯粹数学 。在校5年，他学习的科目十分广泛。1880年7月他以高分拿到大学毕业证书，并留校当奥维迪奥的助教，一年后又转为分析学家A。 安吉洛·杰诺其 教授的助教。1882年春杰诺其摔坏了膝盖骨，皮亚诺便接替他讲授分析课。1884年任都灵大学 微积分学 讲师。1890年12月经过正规竞争，皮亚诺成为 都灵大学 的临时性教授，1895年成为正教授，他一直在都灵大学教书，直到去世。

1887年皮亚诺与卡罗拉·克罗西亚结婚，她是一位画家的女儿。他们没有孩子。

皮亚诺是许多科学协会的会员，也是 意大利 皇家学会会员。他在分析方面的研究颇有成绩，是符号逻辑的奠基人，又是 因特语 的创立者。皮亚诺于1932年4月20日夜里因心绞痛逝世。按照他的意愿，葬礼非常简朴，他被葬在都灵公墓。1963年，他的遗骸被迁往老家斯皮内塔的家族墓地。

贡献

1903年皮亚诺跨出数学领域致力于发明一种国际语（至少可以在讲西欧语言的人中使用），他采取的语言形式可以说是一种混和语，它把 拉丁语 的词干（而不 变格 变位 ）加到 德语 或 英语 的字当中去，只要看起来可行。结果就是“ 国际语 ”，它对于讲 拉丁 语系语言的人没有什么困难，对于讲条顿语系语言的人即使它们不完全熟悉拉丁语系的语言太困难。有的科学杂志现在采取一项措施，即发表文章的摘要用 因特语 ，以便通过最少的翻译使尽可能多的人都能看到。

他作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。1891年皮亚诺创建了《 数学杂志 》，并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺的《数学公式汇编》共有5卷，1895－1908年出版，仅第五卷就含有4200条公式和 定理 ，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无穷的数学矿藏”。皮亚诺引入并推广了“ 测度 ”的概念。皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。1883年他给出了定积分的一个新定义，将 伯恩哈德·黎曼 和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所做的努力。1886年他率先证出一阶 微分方程 y '= f （ x ， y ）可解的唯一条件是f的连续性，并给出了稍欠严格的证明。1893年，皮亚诺发表了《无穷小分析教程》，被 德国 的数学百科全书列在“自欧拉和 奥古斯丁-路易·柯西 时代以来最重要的19本微积分 教科书 ”之中。皮亚诺撰写的《数学百科全书》有很多引人注目的地方。

科学贡献

符号逻辑

皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。他的工作是独立于 戴德金 （J. W. R. Dedekind）而做出的。虽然 戴德金 也曾发表过一篇 自然数 方面的文章，观点与皮亚诺的基本相同，但表达得不如皮亚诺明晰，没有引人们注意。皮亚诺以简明的符号及公理体系为数理逻辑和 数学基础 的研究开创了新局面。他在逻辑方面的第一篇文章出现在他1888年出版的《几何演算—基于格拉斯曼的“扩张研究”》( Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann )一书中。该文独立成章共20页，是关于“演绎逻辑的运算”（ Operations of deductivelogic ）的。皮亚诺不同意 伯特兰·阿瑟·威廉·罗素 （B. A. W. Russell）的观点，而是布尔（G. Boole）、施勒德（F. W. K. E. Schroder）、皮尔斯（C. S. Peirce）和H. 麦科尔（Mccoll）等人工作的综合和发展。1889年皮亚诺的名著《算术原理新方法》（ Arithmetices principia, nova methodo exposita ）出版，在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理，在逻辑符号上有许多创新，从而使推理更加简洁。书中他给出了举世闻名的 自然数 公理，成为经典之作。1891年皮亚诺创建了《 数学杂志 》（ Rivista di Matematica ），并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺用两个不定义的概念“0”和“后继者”及五个公理来定义自然数

自然数集 N 是指满足以下条件的集合：① N 中有一个元素，记作0。② N 中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 0不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理） N 的任一 子集 M ，如果0∈ M ，并且只要 x 在 M 中就能推出 x 的后继者也在 M 中，那么 M = N 。

研究逻辑

19世纪90年代他继续研究逻辑，并向第一届 国际数学家大会 投了稿。1900年在巴黎的哲学大会上，皮亚诺和他的合作者布拉利-福尔蒂（C. Burali-Forti）、帕多阿（A. Padoa）及皮耶里（M. Pieri）主持了讨论。 伯特兰·阿瑟·威廉·罗素 后来写道：“这次大会是我学术生涯的转折点，因为在这次大会上我遇到了皮亚诺。”皮亚诺对20世纪中期的逻辑发展起了很大作用，对数学做出了卓越的贡献。

皮亚诺在《 数学杂志 》上公布他和他的追随者的 逻辑与 数学基础 方面的结果。他还在上面公布了他的《数学公式》（ Formulario ）的庞大计划，并且在这项工作上花费了26年的时间。他期望能将他的数理逻辑记号的若干基本公理出发建立整个数学体系。他使数学家的观点发生了深刻变化，对布尔巴基学派产生了很大影响。

公式汇编

皮亚诺的《数学公式汇编》（ Formulario mathematico ）共有5卷，1895—1908年出版，仅第5卷就含有4200条公式和 定理 ，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无尽的数学矿藏。”他不是把逻辑作为研究的目标，他只关注逻辑在数学中的发展，称自己的系统为数学的逻辑。

其他领域

皮亚诺在其他领域中也使用了公理化方法，特别是对几何。从1889年开始，他对初等几何采用公理化的处理方法，给出了几套 公理系统 。1894年他将这种方法加以延伸，在帕施（M. Pasch）工作的基础上将几何中不可定义的项消减为三个（点、线段和运动），后来皮耶里（M. Pieri）在1899年又把几何中不可定义的项消减为二个（点和运动）。

他的许多论文都是对已有的定义和 定理 给出更加清晰和严格的描述及应用，例如1882年施瓦兹（H. A. Schwarz）引入了曲面的表面积这个概念，但没有说清楚，一年后皮亚诺独立地将曲面表面积的概念清晰化。

推广测度

皮亚诺引入并推广了“测度”的概念。1888年开始他将 赫尔曼·格拉斯曼 （H. G. Grassmann）的 向量 方法推广应用于几何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，对 意大利 的向量分析研究作了很大的推动。

1890年，皮亚诺发现一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数和由定义的一条连续的参数曲线，当参数 t 在[0，1]区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。稍后 戴维·希尔伯特 （D. Hilbert ）和皮亚诺还找到另外一些这样的曲线。

皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。的确，他在分析方面的工作是非常新颖的，有不少是开创性的。1883年他给出了定积分的一个新定义，将 伯恩哈德·黎曼 积分定义为黎曼和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所作的努力。1886年他率先证出一阶 微分方程 可解的唯一条件是f的连续性，并给出稍欠严格的证明。

1890年他又用另一种证法把这一结果推广到一般的微分方程组，并给出 选择公理 的直接明晰的描述。这比策梅罗(E. F. F. Zermelo)早14年。但皮亚诺拒绝使用选择公理，因为它超出 数学证明 所用的普通逻辑之外。1887年他发现了解线性微分 方程 的逐次逼近法，但人们把功劳归于比他晚一年给出此法的皮卡（E. Picard ）. 皮亚诺还给出了积分方程的误差项，并发展成“渐近算子”的理论，它是解决数学方程的一个新方法。1901—1906年之间他就保险数学投过稿。作为国家委员会的一员，他曾被请为估计退休金的金额。1895-1896年他写过理论力学方面的文章，其中有几篇是关于 地球 自转轴的运动。他的工作还涉及特殊的 行列式 、泰勒公式及求积分公式的推广等等。1893年，皮亚诺发表了《无穷小分析教程》（ Lezioni di analisi infinitesimale ），书中的清晰而严格的表述令人叹服。它与皮亚诺编辑的 安吉洛·杰诺其 的著作《微分学与积分学原理》（ Calcolo differenziale e Principii di calcolointegrale ）被 德国 的数学百科全书列在“自 欧拉（L. Euler）和 奥古斯丁-路易·柯西 （A. L. Cauchy）时代以来最重要的19本微积分 教科书 ”之中。

国际语创立

1900年皮亚诺对国际辅助语发生了兴趣，因为他的语言能力很强，他曾用 英语 、 意大利语 、 德语 和 波兰语 写各种书评。1903年他在《 数学杂志 》上发表了对国际语的见解。他想构造一种对学者特别是科学家通用的国际语言。他认为已经存在着大量源于 拉丁语 的科学词汇，试图将选择每个词的合式形式。他把拉丁语的词干加到德语或英语的字中，使学者们能很快识别出来。他认为最好的语法是无语法，主张取消复杂的词尾变化。1908年皮亚诺当选为国际语协会的主席，直到去世。他领导这个协会自由讨论，于1919年出版了《拉丁语意大利语-法语-英语-德语公共词汇》( Vocabulario Commune ad Latino- 意大利语 francais-english- 德语 ), 其中含有14000个词条，皮亚诺把自己后期的精力绝大部分用在这项工作上。他被誉为 因特语 的创立者。

教学工作

皮亚诺的教学工作也很出色，因此曾被军事学院和理工学院聘去兼课。他对教育有浓厚的兴趣，并做出一些贡献。他坚决反对向学生施加过重的压力，1912年他针对小学曾发表过“反对考试”的短文，他说：“用考试来折磨可怜的学生，要他们掌握一般受过教育的成人都不知道的东西，真是对人性的犯罪……。同样的原则也适应于中学和大学。”他很关心教学内容的严谨性，他认为定义一定要准确清晰，证明必须正确无误，可以省去那些困难的内容。他在中学数学教师中间组织了一系列的讨论，试图促进数学教育向清晰、精确和简单化方向发展。

数学史研究

皮亚诺还注意研究数学史，他曾给出关于数学术语出处的精辟论述。在数学教学中，他常介绍数学史知识，挖掘 戈特弗里德·莱布尼茨 （G. W. Leibniz）、 艾萨克·牛顿 （I. Newton）等人的数学思想，对同时代的人影响很大。

创办学校

皮亚诺还和他的《数学公式》的合作者们一起，创办了一所学校。他的学识和对学生的宽容，使他吸引了一批在数学和哲学上兴趣相投的人，形成他的学派，该学派对数理逻辑与向量分析在 意大利 的发展起过重大作用。