势函数的一种二阶 偏微分方程 。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史
1777年，J.L.拉格朗日研究 万有引力 作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk除以它们到任意观察点P的距离rk,并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的 偏导数 正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M. 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 证明：引力场的势函数满足偏微分方程：,叫做势方程，后来通称 拉普拉斯方程 。1813年,S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满 引力 物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做 泊松方程 ，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数V在电学理论中的应用，并指出 导体 表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与 电势 梯度 的关系 和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：
，
式中ρ为自由电荷密度， 纯粹数学 为各分区媒质的相对介电 常数 ，真空介电常数 法/米。在没有自由电荷的区域里， ， 泊松方程 就简化为 拉普拉斯方程
。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给 定边县 界面上各点的 电势 ，叫做 狄利克雷 边界条件；给 定边 界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷 级数 ，稍复杂的须用 计算机 求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从 拉普拉斯方程 的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验 测绘学 的等 热面 或流线图，经过对应 物理量 的换算之后，可以通用于其他的势场。
静 磁场 的 泊松方程 和拉普拉斯方程 在SI制中，静磁场满足的方程为式中j为传导 电流密度 。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度 的区域里，磁矢势满足的方程为选用库仑规范， (· ，则得磁矢势r)满足泊松方程式中 纯粹数学 为媒质的相对 磁导率 ，真空磁导率 亨/米。在传导电流密度 的区域里，上式简化为 拉普拉斯方程 静磁场的 泊松方程 和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与 静电 势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势 方程 的解。
参考书目
郭硕鸿 著:《电动力学》, 人民教育出版社 ， 北京市 ,1979。
J.D.杰克逊著，朱培豫译：《 经典电动力学 》下册，人民教育出版社，北京,1980。(J.D. Jackson,Classical electro dynamics ,John Wilye & Sons,New York,1976.)