傅氏级数，（英语：Fourier's series ）是傅里叶级数的简称，是数学中的一个重要概念。 傅里叶 级数 是由 三角函数 组成的三角函数项级数。 它可以把任何周期函数分解为 正弦 和余弦函数的无穷级数之和。 奇函数的傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数，偶函数的傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数。
18世纪三角级数已经广泛应用于 天文学 理论的研究。 1729年， 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 研究插值问题时，开始使用三角级数研究 行星 扰动理论，确定行星实际位于观测到的位置之间的位置。 1757年 法国 数学家克莱罗在研究 太阳 引起的摄动时宣称，可将任何一个函数写成余弦级数的形式。 1822年，法国数学家傅里叶发表了著作《 热的解析理论 》，书中导出了热传导方程，得出在不同边界条件下的积分法，在此基础上，阐述了傅里叶级数理论。
傅里叶级数为工程师提供了一个十分有效的数学工具。它在数论、组合数学、 偏微分方程 、 信号处理 、图像处理、概率论、 统计学 、密码学、 声学 、光学等领域都有着广泛的应用。
命名
19世纪，法国数学家傅里叶在其经典著作《热的解析理论》（1822）中对函数的三角级数表示问题进行了深入的研究。 《热的解析理论》是傅里叶数学和物理贡献的代表作，被认为是数学的经典文献之一，对数学和理论物理学的发展都产生了巨大的影响。 这部经典著作将 莱昂哈德·欧拉 、 雅各布·伯努利 等人在一些特殊情况下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。
简史
18世纪三角级数已经广泛应用于 天文学 理论的研究。 当时的数学家已经认为对于稍微复杂的代数函数和超越函数，只有把它们展开成 级数 并进行逐项 导数 或积分，才能处理它们。 自18世纪中期开始，欧拉、 让·达朗贝尔 和 约瑟夫·拉格朗日 等数学家在研究天文学和物理学中的问题时，先后发现了一些函数的三角级数表达式。 1729年 长城欧拉 着手研究插值问题。1747年 莱昂哈德·欧拉 把他已得到的方法用于 行星 扰动理论中出现的一个函数上，得到了函数的三角级数表示。由于天文现象的周期性，三角级数广泛应用于天文理论研究。三角级数的插值问题可以确定行星在介于观测到的位置之间的位置。1753年，欧拉发表了他在1729年发现的方法。 1754年，达朗贝尔研究了这样的问题，就是把两个行星间距离的 倒数 ，展开为原点到行星的两条 射线 间的夹角的余弦级数，在这里也能够找到傅里叶级数的系数的定积分表示。1757年 法国 数学家克莱罗在研究因 太阳 而引起的摄动时宣称，将把任何一个函数写成形式 。
1803年前后，傅里叶开始研究热理论。1807年底，傅里叶向巴黎科学院呈交了一篇题为《热的传播》的论文，1811年傅里叶又送上了重新修改后的论文《热在固体中的运动理论》，但被当时科学院的审查委员会质疑不严密，而未能及时发表。直到1822年出版《 热的解析理论 》，才将论文的第一部分编入其中。 1829年， 狄利克雷 首次给出 的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件。 1854年， 伯恩哈德·黎曼 在自己撰写的论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中，第一次给出了现在被称为黎曼积分的概念及其性质，从而奠定了积分在 数学分析 领域的核心地位 。 英国 数学家 乔治·斯托克斯 和 德国 数学家赛德尔提出了函数项级数一致收敛性的概念，之后，傅里叶级数的收敛问题也备受人们关注。 1861年， 卡尔·魏尔施特拉斯 利用三角级数构造了一个处处都不可求导的 连续函数 ，这一发现引起了当时整个数学界的轰动。 1870年，德国数学家海涅提出， 有界函数 可以唯一地表示为三角级数，由于傅里叶级数不一定一致收敛，因此难以保证逐项积分的合理性。
自20世纪以来， 傅里叶分析 取得了前所未有的重大突破。德国数学家 亨利·勒贝格 所建立的 勒贝格积分 和勒贝格测度等概念为傅里叶分析的研究带来了巨大的影响。
1904年， 匈牙利 数学家 费耶尔·利波特 提出的费耶尔求和法，成功地用傅里叶级数表达连续函数。这是傅里叶级数理论发展进程的一座重要里程碑。
定义
若 在 上可积与绝对可积，则称
为函数 的傅氏系数，称三角级数 )为 的傅氏级数(或傅里叶级数)。
在任意区间 上也可以定义函数的傅里叶系数与傅里叶级数。
设 定义在 上以 为周期或只定义在 可积，则称
，
为 的（以 为周期的）傅里叶系数，简称为傅氏系数。相应的三角级数
称为 的（以 为周期的）傅里叶级数，简称为傅氏级数，记作
。
分类
三角形式
设周期信号 ，其周期为 ， 角频率 为 等，则该信号可展开为下面三角形式的傅里叶级数，即
式中各 正弦 项与余弦项的系数 称为傅里叶系数。
，
。
复指数形式
，
代入三角形式的傅里叶级数中得
令 ，则 被称为傅里叶级数的 复数 形式，其中 。 其物理意义为：周期为 的周期函数 ，可以分解为频率为 ，复振幅为 的复简谐波的叠加，称 为 的离散频谱。
性质
收敛定理
函数可展开成傅氏级数的充分条件
(狄利克莱定理)若函数 在 上满足条件：
（1）连续，或除有限个第一类间断点外连续(后一种情况称 分段连续)，
（2）只有有限个极大值、极小值，
则 的傅氏级数在 上收敛，并且当 为的连续点时，其和为 ；
当 为间断点时，其和为 ；当 时，其和为 。
奇、偶函数的傅氏级数
具有奇偶性的函数，计算函数的傅里叶系数时有更加简便的方法，得到的傅里叶级数展开式也具有特殊形式。
如果 在 上满足狄利克莱 定理 或定理2的条件，且 为偶函数，则有
， 在连续点处有 。
如果 在 上满足收敛定理的条件，且 为奇函数，则有 ， ，在连续点处有 。
吉布斯现象
三角函数 是连续可微的函数，其线性叠加（即傅里叶级数）也是连续可微的函数。如果使用傅里叶级数来逼近间断函数时，傅里叶级数在间断点附近并不容易逼近目标函数。傅里叶级数的部分和在间断点附近的异常行为被称为吉布斯现象。例如，在方波信号中，傅里叶级数在间断点附近会出现起伏。
计算方法
周期函数展开傅里叶级数的步骤：
（1）写出收敛域，可判断出函数的奇偶性。
（2）验证函数是否满足收敛 定理 条件，讨论展开后的 级数 在间断点、端点的和
（3）计算傅里叶系数.。
（4）写出傅里叶级数，决定收敛区间，注明它在何处收敛于 。
例：将函数 展开为傅里叶级数。
解：由于 为奇函数，故
于是
在 时， 级数 收敛于 。
意义
人们在弦振动的研究中发现，任何复杂的振动总可分解成不同频率的谐振，受此启发，人们逐步认识到非 正弦 周期 波形 ，也能分解成常分量及若干个正弦分量，从数学角度讲，就是将周期函数分解成 三角函数 组成的级数。
傅里叶级数是数学理论应用于物理学的典范，它把数学家 莱昂哈德·欧拉 和 雅各布·伯努利 有关弦振动方法研究工作中，曾就一些孤立的、特殊的情况所采用的三角级数做了加工处理，最后发展成为一般理论。 这项工作的重大意义不仅推动了 偏微分方程 理论的发展，而且改变了数学家们对函数概念的一种传统的有局限的认识，动摇了18世纪以来人们对所有的函数都是代数函数的繁衍的观念，标志着 数学分析 从解析函数或可展开为泰勒级数的函数圈子里解放出来。 傅里叶级数的发展促进了对经典分析严密化、完备化的研究，与这一时期诞生的 非欧几里得几何 和近世代数等，掀起了19世纪初数学发展的高潮。 因此，美国数学史家 菲利克斯·克莱因 认为：“傅里叶的工作是19世纪的第一大步，并且是真正极为重要的一步。” 应用
傅里叶级数是由 三角函数 组成的三角函数项级数，是研究周期函数的一个重要的数学工具。 随着电力、电子、 计算机 技术的迅速发展，傅里叶级数在力学、光学、量子物理、电工、电信和各种线性系统分析中得到广泛的应用。 例如，电工学中非正弦周期波的分解问题，应用傅里叶级数将非正弦周期波分解为一个直流分量和一系列频率是非正弦周期函数频率整数倍的正弦波分量，即谐波分析。 傅里叶级数也是周期信号的另一种时域的表达方式，它是不同频率的 波形 的叠加。 由于正弦信号在科学和许多工程领域中起着很重要的作用，因而傅里叶级数和变换方法也扩展到许多领域。例如，海浪是由不同波长的正弦波的线性组合构成，无线电台和电视台发射的信号都是正弦的，反映 地球 气候的周期性变化时也会引入正弦信号。