等比数列，又称几何数列（英语：Geometric progression，常记作 G.P.），是指从第二项起，每一项与其前一项的比值都等于同一个非零常数的数列。该常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。等比数列中各项均不为 0。若数列首项为 a₁，公比为 q，则第 n 项为 aₙ＝a₁·qⁿ⁻¹。例如，当 a₁＝2、q＝3 时，第 2、3 项分别为 6 和 18。
公元前3000年的 古埃及 时期，人类已经开始对等比数列进行研究。在名为《 莱因德纸草书 》的 古埃及 遗迹中发现了等比数列求和等内容的计算痕迹。 公元前三世纪，古希腊数学家 欧几里得 （ 希腊语 ：Ευκλειδc）在其著作《 几何原本 》中对等比数列的性质进行研究，并总结出等比数列有限项的求和公式。 另一位古希腊数学家 阿基米德 （希腊语：Ἀρχιμήδης）在研究拋物线弓形面积问题研究时，引出了等比数列。 可以通过等比数列的定义计算等比数列的前n项和和前n项积以及等比中项； 通过等比数列的公比还可以计算无穷 级数 的等比数列。
等比数列的研究已经有数千年的历史，19世纪后，其理论实现跨学科融合，成为现代科学建模的重要工具，目前的应用十分广泛，在 数学分析 、物理建模等学科中均有应用，在经济领域可以通过等比数列计算银行复利；在科技领域可以和网络技术相结合制作线性无线传感网络。
定义
一般地，如果一个 数列 的首项不为0，且从第 2 项起，每项与它前一项的比都等于同一个 常数 ，那么称这个数列为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
由等比数列的定义，从第 2 项起每一项与它的前一项的比都等于 公比 ，对于等比数列 ，用数学公式可以表示为：
以此类推，可得到等比数列的通项公式为： 。
根据等比 数列 的通项公式可知，如果满足 ，其中 ， 是非零常数，则数列 是等比数列。
除通项公式外，等比数列任意两项 和 还存在以下关系： 。
简史
等比数列的研究可追溯到数千年以前。公元前3000年的 古埃及 时期，人类已经开始对等比数列进行研究。公元前3100年的埃及纳尔美王(Narmer)图。图左边有表示数字1的拐杖，而图右边的鹰象征着国王。这只鹰的一只爪子抓着人，另一只爪子踩在六瓣莲花上。一瓣莲花代表数字1000。也就是说，这幅图的含义是，国王(鹰)抓了6000名俘虏(六瓣莲花)。因为 埃及 的 尼罗河 定期泛滥，土地肥沃，而且不易遭到外敌入侵，人民生活安定，所以埃及的数字和文字文明较为发达。在名为《 莱因德纸草书 》的 古埃及 遗迹中甚至发现了我们现在所说的等比数列求和等内容的计算痕迹。
这本书用图片、文字和数字的形式记载了110个数学问题，其中就包括等比数列求和的问题。相关内容用现代语句翻译如下。“7座房子里各有7只猫。1只猫能抓7只老鼠，1只老鼠能吃7根麦穗，1根麦穗里有7颗谷粒。那么房子、猫、老鼠、麦穗和谷粒的总数有多少呢?"
古印度时期，记载了一个国际象棋与麦子的故事，其中涉及到以2为 公比 的等比数列的求和问题。一个国际象棋和麦子的故事：印度国王打算赏赐宰相发明了国际象棋，问他要什么赏赐宰相对国王说：“请您在这棋盘的第一方格内给我 一粒小麦 ，在第二格内给我两粒小麦，第三格内给我四粒小麦，如此下去，每一格内的放的 麦仁 数都是前一格二倍，直至64格都放下应放的小麦粒数目，便是您给我的赏赐了。”国王哈哈大笑答应了宰相的请求。因为国际象棋一共有64个格子,第一个格子可以看作放 粒麦子，所以最后一个格子就是 粒麦子。等式两边同时乘以 公比 ，这道题的公比是2，
公元前三世纪， 古希腊 数学家 欧几里得 （ 希腊语 ：Ευκλειδc）在其著作《 几何原本 》中对等比数列的性质进行研究，并总结出等比数列有限项的求和公式。 另一位古希腊数学家 阿基米德 （希腊语：Ἀρχιμήδης）在研究拋物线 弓形 面积问题研究时，引出了这一等比数列：
十六世纪，法国数学家韦达（ 法语 ：François Viète）第一次给出了无穷项等比数列求和公式，该公式为 。
性质
等比数列 存在如下的性质：
1. 在有穷等比 数列 中，每隔 取出一项，数列 仍为等比数列。
3. 等比数列 ，首项 ，公比为 ，而各项的 倒数 构成的新 数列 可表示为
4. 是 数列 的前n项和， 。
5. 等比数列的第 项 和前 项和 都是 的 指数函数 ，定义域为正整数集。
等比中项
如果在 与 中间插入一个数 ，使得 成等比数列，也就是 或 ，有 ，那么 叫做 与 的等比中项。在等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是前一项与后一项的等比中项。
如果数列的任一连续三项满足 ， 则数列 是等比数列。
数列分类
递增数列
如果等比数列的首项 ， 公比 ，该数列是递增数列；
递减数列
如果 ， ， 该数列是递减的。当 时，情况与此相反。
常数列
其中 ， ，当 时，即数列 的各项都 相等 ，该数列称为常数列。
摆动数列
当公比 时，数列总是摆动的。
计算
等比数列前n项和
设 是等比数列， 表示其前 项和，即
由等比数列的通项公式 可知：
，
等式两边同乘上 ，
，
两式相减可得，
当 时，等比数列的前 项和公式为
。
代入通项公式，则上式可改写为
。
当 时，等比 数列 为 常数 数列 ，每一项都等于第一项 ，故其前 项和公式为
。
综上，等比数列 的其前 项和为
。
上述方法也称为错位相减法，这种方法同样适用于 等差数列 与等比数列乘积的和。
等比数列前n项积
设 是等比数列，给定首项 ，末项 ，
则 ；
又有 代入
得
于是 ，得出等比数列前n项积公式。
给定首项 ， 公比 为 ，又知 代入上述公式
得
最终得 ，得出等比数列前n项积公式。
例如，三个数为等比数列，和为38，积为1728，求这三个数。
先设三个数分别为 ，由题意知， 由②得， 所以 。
把 代入①，得 .
解得 ，则所求三个数依次是8,12,18。
同理。当 时，所求三个数依次是18，12，8。
等比中项的求法
在 公比 为 的无穷等比数列 中，每间隔 项的项仍构称等比数列，其公比为 。
设 是 数列 每隔 项的项所组成的新数列, 且 ，即 是数列 的第 项，则：
以此类推，
因此， 。
等比数列的充要条件
当 时，由 三个值确定一个等比数列 的充要条件是：存在 自然数 ，使得以下等式成立。
证明过程如下：
令 ，
则有 。
如果以 为首项， 为 公比 构建等比数列，则以上三个式子均成立。
假设另有一以 为公比的等比 数列 满足
由 可知， , 故
唯一。
等比数列的判定与证明方法
证明方法
定义法： ；
等比 中项 法： 。
判定方法
通项公式法： ，
说明： ；
前n项和法： ，
说明： 。
如判定某 数列 不是等比数列，只需判定有连续三项不成等比数列即可，就可以联系到赋值法，比如常常判断 。
衍生概念
高阶等比数列
设数列 不是等比数列:若它的一阶差数列是 公比 不为1的等比数列，则称它为一阶等比数列;若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称它为二阶等比 数列 一般地说，如果某一个数列它的(p-1)阶差数列不是等比数列，而p阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个 数列 为p阶等比数列(0阶差数列当作为原数列)。
设数列 的p阶差数列 是公比为 的等比数列，则 ，而它的（p+1）阶差数列的通项为 ，由此可见，（p+1）阶差 数列 也是 公比 为q的等比数列，以此类推，得（p+2）、（p+3）…阶差数列也是等比数列，且公比等于q。
高阶等比求通项
求 数列的通项:
先作各阶差数列:
一阶差数列 由此可知，数列 是一阶等比数列，数列 的首项为6，公比为2，于是 ，
因为 ，所以 ， ，
将以上各式两边分别相加，得 ，所以
因此， 数列 的通项公式为 。
几何级数
定义
如果一列数，从第一项 开始，以后 一项都是它前一项乘上一个固定数r，即 因为该数列毎相邻两项之比r保持不变，故称之为等比 数列 ，r为 公比 。如果等比数列中各项依次相加，即 我们便称其为等比 级数 （或 几何 级数 ）。
当等比数列 公比 的 绝对值 小于1，即 ，则称数列 为无穷递缩等比数列。无穷递缩等比数列 和为 。无穷递缩等比数列必须首先是等比数列，所以 ，但从数列的和的角度看，只需要 。
求和方式
设 级数 为
第一项用 表示为 ，
前两项和为 ，
前三项和为 …
前n项和为 ，可见 为一 数列 。
根据数列的极限定义级数的“和”。设有无穷级数
，
它的前n项和是 ，
当 时，如果 有极限 ，即 ，
则称 是收敛的， 叫做 级数 的和，此时可写为
或 。
当 ，如果 没有极限，则称级数 是发散的，由定义可知，如果 收敛，必有和 ，即
这时， ，把 叫做 级数 的的余项。如果用 作为 的近似值，则产生的误差等于余项的 绝对值 。
例如， 和 均为 几何级数 。当 趋于无穷大时，如果 ，该 无穷级数 的和 是存在的，且为 。
证明过程如下：
首先求出前 项和可知，由等比数列的前 项和公式可知：
如果 ，几何级数存在和，定义为：
因此该 几何级数 的和为：
。
利用上述结论可以将 循环小数 化为分数。例如，
。
当 时，对应的 几何 级数 收敛。该 级数 对应的等比数列 也称为无穷递缩等比数列。例如, 即为无穷递缩等比数列。
敛散性
当 时， ，因此 ，此时等比 级数 收敛。
当 时， ，因此 ，此时等比级数发散。
当 时， ， ，此时等比级数发散。
当 时， ，所以 不存在，等比 级数 发散。
应用
数学方面
化 循环小数 为分数，示例：
生活方面
复利
复利是和单利相对应的经济概念，单利计算不用把利息计入本金计算；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。可以用等比数列计算。如：10000元钱，日利率万分之五，那么30天后，本息合计：10000*(1+0.05%)^30=10151.09，第一天结束，有利息是10000*0.05加上本金=10000（1+0.05）=A1。第一天结束本金A1第二天结束，利息是A1*0.05加上本金=A1(1+0.05)，那么第30天结束，利息A29*0.05加本金=A29*(1+0.05)。最终计算出 复利 是10000*(1+0.0005)^30。
细胞分裂
一个 细胞 ，
分裂一次形成两个细胞 ，
两个细胞各分裂一次形成四个细胞
WSNs
无线传感器网络 (Wireless Sensor Networks，WSNs)通过在监控区域随机播撒大量 传感器节点 ，然后按照自组织网络形式组成的应用于特定环境的网络。
LIENS方案的主要思路是在网络中不同的区域采用限制节点数量的方式，使传感器节点的数量从内到外按等比数列递增，同时在网络中随机部署一定数量的中继节点用于转发收集的数据。在采用的线性无线传感器网络模型中，假定需要通过Sink节点进行中继的子监测区域数量总共为n，传感器节点在相同的子监测区域中配置也是相同的，假定B为每个子监测区域中包含的传感器节点数量,其中 ，但是B只是表示子监测区域中普通传感器节点的数量，并不包含中继传感器节点的数量。普通 传感器节点 主要是用于监测待测信息并发送所采集的数据信息，同时也能接收其他传感器节点传送来的数据信息；而中继传感器节点只用于传输普通传感器节点所收集的数据信息，但其自身并不用于采集任何数据信息。令 为第i个子监测区域中全部传感器节点单位时间的能耗， 为传感器节点发送1比特数据所需的能耗， 为节点接收1比特数据所需的能耗，网络中全部节点的初始能量都是 ,每个传感器节点每次发送的数据都是v比特。则在第n个子监测区域中，普通 传感器节点 单位发送数据所需能耗为 ，如 。