正二十面体

正二十面体(Regular twenty aspect) 是一种由20个 等边三角形 组成的 正多面体 ，它是五个 柏拉图 多面体之一，同时也是三角面多面体以及 康威多面体 。正二十面体拥有20个面、30条棱和12个顶点，其 对偶多面体 是 正十二面体 。在 施莱夫利符号 中，正二十面体表示为{3,5}。正二十面体是所有五种凸正多面体中面数最多的。

定义

正多面体各个面都是 全等 的 正多边形 ，并且各个多面角都是全等的多面角。其中面数最少的是 正四面体 ，面数最多的是正二十四面体。

性质

1.正二十面体的 外接球 、 内切球 、内棱切球都存在，并且三球球心重合。

2.正 二十面体 的外心、内心、内棱心重合的点称为该正二十面体的中心。

3.正二十面过任顶点和 正多面体 中心的直线必然经过正二十面体的另一顶点，并且这两个顶点到正二十面体中心的距离都 相等 。

4.连线经过正二十面体的中心的两点称为相对顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正二十面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正二十面体的对面。

5.正二十面体的对棱、对面都平行。

体积公式

（其中a为棱长）

内接 正十二面体

在平面上， 正多边形 内接到圆时，边数越多，占圆面积的百分比就较高；而在 三维空间 中，这个规则却不能推广——当正 十二面体 和正 二十面体 内接到一个球时，前者约占66.4909%，后者仅占60.5461%。某些病毒，如 疱疹病毒科 ，拥有正二十面体的 衣壳 。

正二十面体：20面\12顶点\30棱

若正二十面体的中心为(0,0,0)， 外接球 半径为1，各顶点的坐标为{(±m,0,±n), , ，其中 。

计算公式

体心到每个顶点的距离（外接球半径）= 。

体心到每个面的中心的距离（ 内切球 半径）= 。

体心到每条棱的 中点 的距离（切棱球半径）= 。

正二十面体(Regular twenty aspect) 是一种由20个 等边三角形 组成的 正多面体 ，它是五个 柏拉图 多面体之一，同时也是三角面多面体以及 康威多面体 。正二十面体拥有20个面、30条棱和12个顶点，其 对偶多面体 是 正十二面体 。在 施莱夫利符号 中，正二十面体表示为{3,5}，顶点布局为3.3.3.3.3或35。正二十面体是所有五种凸正多面体中面数最多的。

正交投影

正二十面体有3种特殊的 正交 投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。

应用

正二十面体因其均匀性和多面性，适合作为 子使用。在生物学中，某些病毒如 疱疹病毒科 、 诺如病毒 、 腺病毒科 和 噬菌体 等，拥有正二十面体的 衣壳 。在某些细菌中，也发现具有 二十面体 形状的胞器，这些胞器的壳由具BMC结构域的不同 蛋白质 构成。1904年， 恩斯特·海克尔 发表了一些 放射虫 的种类，包括Circogonia二十面体（Circogonia icosahedra），其 BOBBIN 的形状像一个正二十面体。

与黄金分割的关系

正二十面体与黄金分割有密切的关系。若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)}，在此Φ = √5 − 1/2，即黄金分割数。这些顶点能共同形成五组，每组拥有三个同心、相互垂直的 黄金矩形 。

半正涂色和子对称群

正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱 正四面体 ，具有 手征性 正四面体对称性；它亦可以被描述成交错截顶 正八面体 ，有 五角十二面体 对称性。这个具有五角十二面体对称的正 二十面体 也被叫做伪二十面体是五角十二面体的 对联 。